Проведено 950 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…

Для решения данной задачи мы используем центральную предельную теорему и свойства распределения Бернулли. Давайте рассмотрим все шаги по порядку.

Шаг 1: Определим параметры

1. Число испытаний (n): 950
2. Вероятность успешного исхода (p): 0,4
3. Вероятность неуспешного исхода (q): \( q = 1 - p = 0,6 \)

Шаг 2: Найдем среднее и стандартное отклонение

Для процесса Бернулли:

• Среднее число успехов (μ) рассчитывается по формуле: \[ \mu = n \cdot p = 950 \cdot 0,4 = 380 \]

• Стандартное отклонение (σ) рассчитывается по формуле: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{950 \cdot 0,4 \cdot 0,6} \approx \sqrt{228} \approx 15,1 \]

Шаг 3: Установим критерий

Нам необходимо найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50. То есть, нужно оценить вероятность:

\[ |X - \mu| < 50 \]

где \( X \) — это число успешных испытаний.

Шаг 4: Преобразуем неравенство

Записываем это неравенство в более удобной форме:

\[ \mu - 50 < X < \mu + 50 \]

Подставим значения:

\[ 380 - 50 < X < 380 + 50 \] \[ 330 < X < 430 \]

Шаг 5: Используем нормальное приближение

Согласно центральной предельной теореме, если n велико, мы можем приблизительно считать распределение числа успехов \( X \) нормальным распределением с параметрами \( \mu \) и \( \sigma \):

\[ X \sim N(\mu = 380, \sigma^2 = 15.1^2) \]

Мы можем использовать стандартное нормальное распределение (Z-распределение), чтобы найти нужные вероятности. Для этого нам нужно стандартизировать границы X:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Теперь стандартизируем наши границы:

1. Для 330: \[ Z = \frac{330 - 380}{15.1} \approx \frac{-50}{15.1} \approx -3.32 \]

2. Для 430: \[ Z = \frac{430 - 380}{15.1} \approx \frac{50}{15.1} \approx 3.32 \]

Шаг 6: Найдем вероятности

Теперь находим вероятности для этих Z-значений, используя таблицы Z или функции в статистических программах.

• Вероятность того, что Z < 3.32 приближенно равна 1 (так как это очень высокое значение).
• Вероятность того, что Z < -3.32 также очень низка, почти 0.

Следовательно, вероятность \( P(330 < X < 430) \) равна:

\[ P(Z < 3.32) - P(Z < -3.32) \approx 1 - 0 \approx 1. \]

Таким образом, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, приближенно равна 1, что означает, что это событие с очень высокой вероятностью произойдёт.

Ответ

Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, очень близка к 1.