Для решения данной задачи мы используем центральную предельную теорему и свойства распределения Бернулли. Давайте рассмотрим все шаги по порядку.
Шаг 1: Определим параметры
- Число испытаний (n): 950
- Вероятность успешного исхода (p): 0,4
- Вероятность неуспешного исхода (q): ( q = 1 - p = 0,6 )
Шаг 2: Найдем среднее и стандартное отклонение
Для процесса Бернулли:
Среднее число успехов (μ) рассчитывается по формуле:
[
\mu = n \cdot p = 950 \cdot 0,4 = 380
]
Стандартное отклонение (σ) рассчитывается по формуле:
[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{950 \cdot 0,4 \cdot 0,6} \approx \sqrt{228} \approx 15,1
]
Шаг 3: Установим критерий
Нам необходимо найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50. То есть, нужно оценить вероятность:
[
|X - \mu| < 50
]
где ( X ) — это число успешных испытаний.
Шаг 4: Преобразуем неравенство
Записываем это неравенство в более удобной форме:
[
\mu - 50 < X < \mu + 50
]
Подставим значения:
[
380 - 50 < X < 380 + 50
]
[
330 < X < 430
]
Шаг 5: Используем нормальное приближение
Согласно центральной предельной теореме, если n велико, мы можем приблизительно считать распределение числа успехов ( X ) нормальным распределением с параметрами ( \mu ) и ( \sigma ):
[
X \sim N(\mu = 380, \sigma^2 = 15.1^2)
]
Мы можем использовать стандартное нормальное распределение (Z-распределение), чтобы найти нужные вероятности. Для этого нам нужно стандартизировать границы X:
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Теперь стандартизируем наши границы:
Для 330:
[
Z = \frac{330 - 380}{15.1} \approx \frac{-50}{15.1} \approx -3.32
]
Для 430:
[
Z = \frac{430 - 380}{15.1} \approx \frac{50}{15.1} \approx 3.32
]
Шаг 6: Найдем вероятности
Теперь находим вероятности для этих Z-значений, используя таблицы Z или функции в статистических программах.
- Вероятность того, что Z < 3.32 приближенно равна 1 (так как это очень высокое значение).
- Вероятность того, что Z < -3.32 также очень низка, почти 0.
Следовательно, вероятность ( P(330 < X < 430) ) равна:
[
P(Z < 3.32) - P(Z < -3.32) \approx 1 - 0 \approx 1.
]
Таким образом, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, приближенно равна 1, что означает, что это событие с очень высокой вероятностью произойдёт.
Ответ
Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, очень близка к 1.
