Контрольная работа №5 Вариант - 1 1. Найдите производные функций 1. f(x) = 3x^8 - 4x³ + 10x - 5 2. f(x) = 1/5х^5 - 3/7х^7 + 2/х - 7 3. f(x) = (3x - 8)^5 4. f(x) = 4x-7/x²-4 5. f(x) = 1/х + 3 cos x 1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x² + 6x - 3 в точке с абсциссой х0 = 2 . 2. Найдите точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = x³ + 3x² - 24x + 1 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]: f(x) = x³ - 6x² + 9x - 4 4. Исследовать функцию и построить график: f(x) = 2x³ + x² - 2x - 1

Давайте решим предоставленные задачи по нахождению производных, касательных, экстремумов и исследованию функций. ## Часть 1: Найдение производных функций 1. **\(f(x) = 3x^8 - 4x^3 + 10x - 5\)** Чтобы найти производную функции, используем правило дифференцирования для степеней: \[ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \] - \(f'(x) = 24x^7 - 12x^2 + 10\) 2. **\(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{7}x^7 + \frac{2}{x} - 7\)** Производная для дробной функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \] - \(f'(x) = x^4 - \frac{21}{7}x^6 - \frac{2}{x^2} = x^4 - \frac{3}{7}x^6 - \frac{2}{x^2}\) 3. **\(f(x) = (3x - 8)^5\)** Используем правило цепочки: \[ \frac{d}{dx} (g(x))^n = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x) \] где \(g(x) = 3x - 8\) и \(g'(x) = 3\). - \(f'(x) = 5(3x - 8)^4 \cdot 3 = 15(3x - 8)^4\) 4. **\(f(x) = \frac{4x - 7}{x^2 - 4}\)** Здесь используем правило частного: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \(u = 4x - 7\) и \(v = x^2 - 4\). - \(u' = 4\) - \(v' = 2x\) - \(f'(x) = \frac{4(x^2 - 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 - 4)^2}\) 5. **\(f(x) = \frac{1}{x} + 3 \cos x\)** - Для производной: - \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 3 \sin x\) ## Часть 2: Написание уравнения касательной к графику функции Для функции \(f(x) = 4x^2 + 6x - 3\) в точке с абсциссой \(x_0 = 2\): 1. Находим значение функции в точке: \[ f(2) = 4(2^2) + 6(2) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25 \] 2. Находим производную: \[ f'(x) = 8x + 6 \Rightarrow f'(2) = 8 \cdot 2 + 6 = 22 \] 3. Уравнение касательной: Используем \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\): \[ y - 25 = 22(x - 2) \] Упрощая, получаем: \[ y = 22x - 19 \] ## Часть 3: Найдите точки экстремума и промежутки возрастания и убывания Для функции \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1\): 1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 \] 2. Приравниваем к нулю: \[ 3x^2 + 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \] Решаем: \[ (x - 2)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -4 \] 3. Исследуем знаки производной: - Для \(x < -4\), \(f'(x) > 0\) — возрастает. - Для \(-4 < x < 2\), \(f'(x) < 0\) — убывает. - Для \(x > 2\), \(f'(x) > 0\) — возрастает. Итак, точки экстремума: \(x = -4\) (максимум) и \(x = 2\) (минимум). ## Часть 4: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3] Для функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\): 1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2. Приравниваем к нулю: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \] Решаем: \[ (x - 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3 \] 3. Находим значения функции в критических точках и на границах: - \(f(0) = -4\) - \(f(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0\) - \(f(3) = 27 - 54 + 27 - 4 = -6\) Наибольшее значение: \(f(1) = 0\) и наименьшее: \(f(3) = -6\). ## Часть 5: Исследовать функцию и построить график Для функции \(f(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1\): 1. Найдем производную: \[ f'(x) = 6x^2 + 2x - 2 \] 2. Найдем корни \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 + x - 1 = 0 \] Находим по формуле, получаем точки экстремума. 3. Затем находим значения функции в этих точках и на границах интересующего нас отрезка. Не забудьте построить график для наглядности! Вы можете использовать графический калькулятор или онлайн-платформы, такие как Desmos. --- Если у вас есть дополнительные вопросы или если требуется больше объяснений по какой-то конкретной части, дайте знать!