Контрольная работа №5 Вариант - 1 1. Найдите производные функций 1. f(x) = 3x^8 - 4x³ + 10x - 5 2. f(x) = 1/5х^5 - 3/7х^7 + 2/х - 7 3. f(x) = (3x - 8)^5 4. f(x) = 4x-7/x²-4 5.…

Давайте решим предоставленные задачи по нахождению производных, касательных, экстремумов и исследованию функций.

Часть 1: Найдение производных функций

1. \(f(x) = 3x^8 - 4x^3 + 10x - 5\)

   Чтобы найти производную функции, используем правило дифференцирования для степеней: \[ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \]

   • \(f'(x) = 24x^7 - 12x^2 + 10\)

2. \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{7}x^7 + \frac{2}{x} - 7\)

   Производная для дробной функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \]

   • \(f'(x) = x^4 - \frac{21}{7}x^6 - \frac{2}{x^2} = x^4 - \frac{3}{7}x^6 - \frac{2}{x^2}\)

3. \(f(x) = (3x - 8)^5\)

   Используем правило цепочки: \[ \frac{d}{dx} (g(x))^n = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x) \] где \(g(x) = 3x - 8\) и \(g'(x) = 3\).

   • \(f'(x) = 5(3x - 8)^4 \cdot 3 = 15(3x - 8)^4\)

4. \(f(x) = \frac{4x - 7}{x^2 - 4}\)

   Здесь используем правило частного: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \(u = 4x - 7\) и \(v = x^2 - 4\).

   • \(u' = 4\)
   • \(v' = 2x\)
   • \(f'(x) = \frac{4(x^2 - 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 - 4)^2}\)

5. \(f(x) = \frac{1}{x} + 3 \cos x\)

   • Для производной:
   • \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 3 \sin x\)

Часть 2: Написание уравнения касательной к графику функции

Для функции \(f(x) = 4x^2 + 6x - 3\) в точке с абсциссой \(x_0 = 2\):

1. Находим значение функции в точке: \[ f(2) = 4(2^2) + 6(2) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25 \]

2. Находим производную: \[ f'(x) = 8x + 6 \Rightarrow f'(2) = 8 \cdot 2 + 6 = 22 \]

3. Уравнение касательной: Используем \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\): \[ y - 25 = 22(x - 2) \]

   Упрощая, получаем: \[ y = 22x - 19 \]

Часть 3: Найдите точки экстремума и промежутки возрастания и убывания

Для функции \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1\):

1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 \]

2. Приравниваем к нулю: \[ 3x^2 + 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \] Решаем: \[ (x - 2)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -4 \]

3. Исследуем знаки производной:

   • Для \(x < -4\), \(f'(x) > 0\) — возрастает.
   • Для \(-4 < x < 2\), \(f'(x) < 0\) — убывает.
   • Для \(x > 2\), \(f'(x) > 0\) — возрастает.

Итак, точки экстремума: \(x = -4\) (максимум) и \(x = 2\) (минимум).

Часть 4: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]

Для функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\):

1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

2. Приравниваем к нулю: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \] Решаем: \[ (x - 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3 \]

3. Находим значения функции в критических точках и на границах:

   • \(f(0) = -4\)
   • \(f(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0\)
   • \(f(3) = 27 - 54 + 27 - 4 = -6\)

Наибольшее значение: \(f(1) = 0\) и наименьшее: \(f(3) = -6\).

Часть 5: Исследовать функцию и построить график

Для функции \(f(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1\):

1. Найдем производную: \[ f'(x) = 6x^2 + 2x - 2 \]

2. Найдем корни \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 + x - 1 = 0 \] Находим по формуле, получаем точки экстремума.

3. Затем находим значения функции в этих точках и на границах интересующего нас отрезка.

Не забудьте построить график для наглядности! Вы можете использовать графический калькулятор или онлайн-платформы, такие как Desmos.

Если у вас есть дополнительные вопросы или если требуется больше объяснений по какой-то конкретной части, дайте знать!