действия комплексных чисел z1=12+5i z2=3-4i

Давайте разберёмся с операциями над комплексными числами, используя ваши числа \( z_1 = 12 + 5i \) и \( z_2 = 3 - 4i \). Мы рассмотрим основные действия: сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

1. Сложение комплексных чисел

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем действительные части и мнимые части отдельно:

\[ z_1 + z_2 = (12 + 5i) + (3 - 4i) \]

Складываем действительные части: \[ 12 + 3 = 15 \]

Складываем мнимые части: \[ 5i - 4i = 1i \]

Таким образом, результат сложения: \[ z_1 + z_2 = 15 + 1i \]

2. Вычитание комплексных чисел

Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, вычитаем действительные части и мнимые части отдельно:

\[ z_1 - z_2 = (12 + 5i) - (3 - 4i) \]

Вычитаем действительные части: \[ 12 - 3 = 9 \]

Вычитаем мнимые части: \[ 5i + 4i = 9i \]

Таким образом, результат вычитания: \[ z_1 - z_2 = 9 + 9i \]

3. Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел осуществляется по формуле распределительного свойства. Мы умножаем каждую часть первого числа на каждую часть второго числа:

\[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 5i)(3 - 4i) \]

Раскрываем скобки: \[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 5i \cdot 3 + 5i \cdot (-4i) \]

Выражаем каждое произведение: \[ = 36 - 48i + 15i - 20i^2 \]

Заменяем \( i^2 \) на \(-1\): \[ = 36 - 48i + 15i + 20 \]

Теперь объединяем действительные и мнимые части: \[ = (36 + 20) + (-48i + 15i) \] \[ = 56 - 33i \]

4. Деление комплексных чисел

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, мы умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое значение знаменателя.

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 5i}{3 - 4i} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( 3 + 4i \):

\[ = \frac{(12 + 5i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \]

Сначала находим знаменатель: \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Теперь вычислим числитель: \[ (12 + 5i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i \] \[ = 36 + 48i + 15i + 20i^2 \] \[ = 36 + 48i + 15i - 20 \] \[ = (36 - 20) + (48i + 15i) = 16 + 63i \]

Теперь подставим все это в результат:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 63i}{25} \] \[ = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \]

Таким образом, итоговые результаты всех операций будут:

• Сложение: \( z_1 + z_2 = 15 + 1i \)
• Вычитание: \( z_1 - z_2 = 9 + 9i \)
• Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \)
• Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть что-то еще, дайте знать!