Найти экстремумы функции: f(x) = x3 - 5/2 x2 - 22x + 1

Чтобы найти экстремумы функции \( f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 22x + 1 \), нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим пошагово, как это сделать.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции \( f'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{5}{2} \frac{d}{dx}(x^2) - 22 \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) \] \[ f'(x) = 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x - 22 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 5x - 22 \]

Шаг 2: Привести производную к нулю

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 5x - 22 = 0 \]

Шаг 3: Решить квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 5x - 22 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -22 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня. Найдем их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 17}{6} \]

Теперь вычислим:

1. \( x_1 = \frac{5 + 17}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \)
2. \( x_2 = \frac{5 - 17}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \)

Шаг 4: Определить тип экстремумов

Теперь мы нашли критические точки: \( x_1 = \frac{11}{3} \) и \( x_2 = -2 \). Чтобы определить, являются ли они максимумом или минимумом, нужно проверить знак производной \( f'(x) \) в интервалах, определенных этими точками.

1. Проверим знак \( f'(x) \) на интервале \( (-\infty, -2) \): Выберем точку \( x = -3 \): \[ f'(-3) = 3(-3)^2 - 5(-3) - 22 = 27 + 15 - 22 = 20 \quad (>0) \]

2. Проверим знак \( f'(x) \) на интервале \( (-2, \frac{11}{3}) \): Выберем точку \( x = 0 \): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 5(0) - 22 = -22 \quad (<0) \]

3. Проверим знак \( f'(x) \) на интервале \( (\frac{11}{3}, +\infty) \): Выберем точку \( x = 4 \): \[ f'(4) = 3(4)^2 - 5(4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6 \quad (>0) \]

Шаг 5: Подвести итоги

• На интервале \( (-\infty, -2) \) функция возрастает.
• На интервале \( (-2, \frac{11}{3}) \) функция убывает.
• На интервале \( (\frac{11}{3}, +\infty) \) функция снова возрастает.

Таким образом, точка \( x = -2 \) является максимумом, а точка \( x = \frac{11}{3} \) — минимумом функции.

Ответ

Экстремумы функции:

• Максимум в точке \( x = -2 \)
• Минимум в точке \( x = \frac{11}{3} \)

Теперь вы знаете, как находить экстремумы функции, и как определять их тип! Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.