Даны координаты вершин треугольника АВС, A(-2, 3), B(2, 5), C(0, 1) . Найти: 1) уравнения сторон треугольника; 2) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3)…

Давайте поэтапно решим задачу, основанную на координатах вершин треугольника \(A(-2, 3)\), \(B(2, 5)\) и \(C(0, 1)\).

1) Уравнения сторон треугольника

Для нахождения уравнений сторон треугольника, напомним, что уравнение прямой в общем виде можно записать как \(y = kx + b\), где \(k\) – угловой коэффициент, а \(b\) – свободный член.

Уравнение стороны AB:

Найдём угловой коэффициент \(k\) для отрезка AB: \[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь, используя одну из точек (пусть это будет \(A(-2, 3)\)), найдём уравнение: \[ y - y_1 = k_{AB}(x - x_1) \] \[ y - 3 = \frac{1}{2}(x + 2) \] \[ y - 3 = \frac{1}{2}x + 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 4 \] Уравнение стороны AB: \[ y = \frac{1}{2}x + 4 \]

Уравнение стороны BC:

Найдём угловой коэффициент \(k\) для отрезка BC: \[ k_{BC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \] Используем точку \(C(0, 1)\): \[ y - 1 = 2(x - 0) \Rightarrow y - 1 = 2x \Rightarrow y = 2x + 1 \] Уравнение стороны BC: \[ y = 2x + 1 \]

Уравнение стороны AC:

Найдём угловой коэффициент \(k\) для отрезка AC: \[ k_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{0 - (-2)} = \frac{-2}{2} = -1 \] Используем точку \(A(-2, 3)\): \[ y - 3 = -1(x + 2) \Rightarrow y - 3 = -x - 2 \Rightarrow y = -x + 1 \] Уравнение стороны AC: \[ y = -x + 1 \]

2) Уравнение высоты, опущенной из вершины C на сторону AB

Чтобы найти уравнение высоты, нужно найти угловой коэффициент перпендикуляра к AB. Угловой коэффициент перпендикуляра \(k_{h}\) будет равен: \[ k_{h} = -\frac{1}{k_{AB}} = -2 \]

Используем точку \(C(0, 1)\): \[ y - 1 = -2(x - 0) \Rightarrow y = -2x + 1 \]

3) Уравнение медианы к стороне AC

Сначала найдём середину отрезка AC. Координаты середины \(M\) будут: \[ M\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = M\left(-1, 2\right) \]

Теперь найдём угловой коэффициент для отрезка CM: \[ k_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{2 - 1}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1 \]

Используем точку \(C(0, 1)\): \[ y - 1 = -1(x - 0) \Rightarrow y = -x + 1 \]

(Здесь уравнение медианы совпадает с уравнением стороны AC, это означает, что медиана к стороне AC является её продолжением).

4) Угол A

Чтобы найти угол \(A\), можем использовать формулу для угла между двумя векторами. Векторы \(AB\) и \(AC\): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-2), 5 - 3) = (4, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0 - (-2), 1 - 3) = (2, -2) \]

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 8 - 4 = 4 \] Длину векторов: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Теперь найдём косинус угла: \[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{4}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] Значит: \[ A = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \]

5) Чертеж

Для чертежа в системе декартовых координат, вы можете использовать координаты вершин:

• \(A(-2, 3)\)
• \(B(2, 5)\)
• \(C(0, 1)\)

Нарисуйте оси координат, отметьте эти точки и соедините их, чтобы получить треугольник \(ABC\).

Итак, подытожим:

1. Уравнения сторон: \(AB: y = \frac{1}{2}x + 4\), \(BC: y = 2x + 1\), \(AC: y = -x + 1\)
2. Уравнение высоты \(h_C: y = -2x + 1\)
3. Уравнение медианы \(m_{AC} \) совпадает с \(y = -x + 1\)
4. Угол \(A = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\)
5. Чертеж: используйте координаты для построения треугольника в системе координат.

Если у вас есть вопросы по какому-либо из этапов, не стесняйтесь спрашивать!