Даны векторы a(-4;2) и b(6;3). найдите косинус угла между ними
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами можно воспользоваться формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \]
где:
- \( a \cdot b \) — скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \).
- \( |a| \) и \( |b| \) — длины векторов \( a \) и \( b \) соответственно.
Шаг 1: Находим скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов \( a(x_1; y_1) \) и \( b(x_2; y_2) \) рассчитывается по формуле:
\[ a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]
В нашем случае:
- Вектор \( a(-4; 2) \): \( x_1 = -4 \), \( y_1 = 2 \)
- Вектор \( b(6; 3) \): \( x_2 = 6 \), \( y_2 = 3 \)
Подставляем значения:
\[ a \cdot b = (-4) \cdot 6 + 2 \cdot 3 = -24 + 6 = -18 \]
Шаг 2: Находим длины векторов
Длина вектора \( a(x; y) \) рассчитывается по формуле:
\[ |a| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Теперь находим длины для обоих векторов.
Для вектора \( a(-4; 2) \):
\[ |a| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Для вектора \( b(6; 3) \):
\[ |b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]
Шаг 3: Находим косинус угла между векторами
Теперь применим найденные значения скалярного произведения и длины векторов в нашу формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{-18}{(2\sqrt{5})(3\sqrt{5})} \]
Сначала найдём произведение длин векторов:
\[ |a| |b| = (2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 6 \cdot 5 = 30 \]
Теперь подставим значение в формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{-18}{30} \]
Упростим дробь:
\[ \cos(\theta) = \frac{-3}{5} \]
Ответ:
Косинус угла между векторами \( a(-4; 2) \) и \( b(6; 3) \) равен \(-\frac{3}{5}\).
