Для нахождения косинуса угла между двумя векторами можно воспользоваться формулой:
[
\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}
]
где:
- ( a \cdot b ) — скалярное произведение векторов ( a ) и ( b ).
- ( |a| ) и ( |b| ) — длины векторов ( a ) и ( b ) соответственно.
Шаг 1: Находим скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов ( a(x_1; y_1) ) и ( b(x_2; y_2) ) рассчитывается по формуле:
[
a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
]
В нашем случае:
- Вектор ( a(-4; 2) ): ( x_1 = -4 ), ( y_1 = 2 )
- Вектор ( b(6; 3) ): ( x_2 = 6 ), ( y_2 = 3 )
Подставляем значения:
[
a \cdot b = (-4) \cdot 6 + 2 \cdot 3 = -24 + 6 = -18
]
Шаг 2: Находим длины векторов
Длина вектора ( a(x; y) ) рассчитывается по формуле:
[
|a| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Теперь находим длины для обоих векторов.
Для вектора ( a(-4; 2) ):
[
|a| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
]
Для вектора ( b(6; 3) ):
[
|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]
Шаг 3: Находим косинус угла между векторами
Теперь применим найденные значения скалярного произведения и длины векторов в нашу формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{-18}{(2\sqrt{5})(3\sqrt{5})}
]
Сначала найдём произведение длин векторов:
[
|a| |b| = (2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 6 \cdot 5 = 30
]
Теперь подставим значение в формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{-18}{30}
]
Упростим дробь:
[
\cos(\theta) = \frac{-3}{5}
]
Ответ:
Косинус угла между векторами ( a(-4; 2) ) и ( b(6; 3) ) равен (-\frac{3}{5}).
