Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны…

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Обозначим данные

Дано:

• Высота \( CH = 6 \) см.
• Один отрезок гипотенузы больше другого на 5 см.

Обозначим:

• \( AC = x \) см, \( BC = y \) см, где \( x > y \).
• Тогда \( x = y + 5 \).

Шаг 2: Свойство высоты

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла, является средним пропорциональным к образованным ею отрезкам гипотенузы:

\[ CH^2 = AC \cdot BC \]

Подставим известные значения:

\[ 6^2 = x \cdot y \]

\[ 36 = (y+5) \cdot y \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Раскроем скобки:

\[ 36 = y^2 + 5y \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ y^2 + 5y - 36 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]

Корни уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2} \]

\[ y_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{-5 - 13}{2} = -9 \]

Поскольку длина не может быть отрицательной, берем \( y = 4 \).

Шаг 4: Найдите \( x \)

\[ x = y + 5 = 4 + 5 = 9 \]

Шаг 5: Определите стороны треугольника

Треугольник прямоугольный, с катетами \( a = 8 \), \( b = 15 \) и гипотенузой \( 17 \).

Шаг 6: Отношение площадей

Общая площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2 \]

Площади подтреугольников:

• \( S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27 \text{ см}^2 \)
• \( S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2 \)

Отношение площадей \( S_{ACH} : S_{BCH} = 27 : 12 = 9 : 4 \).

Таким образом, высота делит треугольник в отношении 9:4.