Рассмотрим задачу по вычислению дисперсии ( D(X) ) и стандартного отклонения ( \sigma(X) ) случайной величины ( X ). Для этого нам потребуется распределение вероятностей ( X ).
Шаг 1: Определение характеристик случайной величины
Дисперсия случайной величины рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
где:
- ( E(X) ) — математическое ожидание ( X ).
- ( E(X^2) ) — математическое ожидание ( X^2 ).
Стандартное отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)}
]
Шаг 2: Вычисление математического ожидания ( E(X) )
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(X=x_i))
]
где ( x_i ) — значения случайной величины, а ( P(X=x_i) ) — соответствующие вероятности.
Шаг 3: Вычисление ( E(X^2) )
Аналогично, для ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X=x_i))
]
Шаг 4: Подсчёты
Теперь, если у вас есть конкретные значения ( x_i ) и соответствующие вероятности, мы подставим их в формулы.
Пример
Допустим, у нас есть следующие значения и вероятности:
- ( X: 1, 2, 3 )
- ( P(X=1): 0.2, P(X=2): 0.5, P(X=3): 0.3 )
Вычислим ( E(X) ):
[
E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1
]
Вычислим ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 = 0.2 + 2 + 2.7 = 4.9
]
Теперь подставим в формулу дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49
]
Рассчитаем стандартное отклонение:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7
]
Ответ
Если у вас есть конкретные значения и вероятности, подставьте их и выполните аналогичные расчёты. Если данных нет, то следуйте описанным шагам для выяснения результатов вашей задачи. Если вы можете предоставить распределение вероятностей, я помогу вам с конкретными вычислениями.
