Для решения этой задачи начнем с определения свойств геометрической прогрессии.
Шаг 1: Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член (кроме первого) получается умножением предыдущего члена на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Пусть ( b_1 ) — это первый член, а ( q ) — знаменатель прогрессии. Тогда члены прогрессии можно записать как:
- ( b_1 )
- ( b_2 = b_1 \cdot q )
- ( b_3 = b_1 \cdot q^2 )
- ( b_4 = b_1 \cdot q^3 )
- ( b_5 = b_1 \cdot q^4 )
- ( b_6 = b_1 \cdot q^5 )
Шаг 2: Изучение условий задачи
Теперь нам известны некоторые члены прогрессии: ( b_1, b_2 = b_1 \cdot q, 2\sqrt{2}, b_4, \sqrt{2}, b_6 ). Чтобы найти ( q ), мы будем использовать из известных значений.
Шаг 3: Получение значений членов
Присвоим членам прогрессии известные значения:
- ( b_3 = 2\sqrt{2} )
- ( b_5 = \sqrt{2} )
Сначала выразим ( b_3 ):
[
b_3 = b_1 \cdot q^2 = 2\sqrt{2}
]
[
b_5 = b_1 \cdot q^4 = \sqrt{2}
]
Шаг 4: Деление уравнений
Теперь разделим два уравнения:
[
\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2
]
[
\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}
]
Таким образом, мы получаем:
[
q^2 = \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Нахождение значения ( q )
Теперь найдем ( q ):
[
q = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 6: Проверка
Теперь проверим, если все члены, учитывая ( b_1 ):
- Если ( b_1 = 2\sqrt{2} / q^2 = 2\sqrt{2} / \frac{1}{2} = 4\sqrt{2} ):
- ( b_2 = b_1 \cdot q = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 )
- ( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 4\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8} = 2 )
- ( b_6 = b_1 \cdot q^5 = 4\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{32} = 1 )
Все члены положительные.
Ответ
Знаменатель ( q ) геометрической прогрессии равен ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).
