Вычисли значение cos 159°, зная, что cos 53 ≈ 3/5

Чтобы вычислить значение \( \cos 159^\circ \), мы можем использовать свойства тригонометрических функций. ### Шаг 1: Применение формулы приведения На углы, превышающие 90°, можно использовать формулу приведения. Угол \( 159^\circ \) находится во втором квадранте, где косинус отрицателен. Мы можем выразить его как: \[ \cos 159^\circ = \cos (180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ \] ### Шаг 2: Найти значение \( \cos 21^\circ \) Теперь нам нужно узнать значение \( \cos 21^\circ \). Но в задаче указано, что \( \cos 53^\circ \approx \frac{3}{5} \). ### Шаг 3: Использование дополнительного угла Используя дополнительный угол, мы помним, что: \[ \cos(90^\circ - x) = \sin x \] Таким образом: \[ \cos 53^\circ = \sin 37^\circ \] Следовательно, \[ \sin 37^\circ \approx \frac{3}{5} \] Теперь, чтобы найти \( \cos 21^\circ \), мы воспользуемся еще одной тригонометрической формулой: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Отсюда мы можем выразить \( \cos 37^\circ \): \[ \cos^2 37^\circ = 1 - \sin^2 37^\circ = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Таким образом, \[ \cos 37^\circ \approx \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] ### Шаг 4: Найти \( \cos 21^\circ \) Теперь используем соотношение: \[ \cos(90^\circ - 21^\circ) = \sin 21^\circ \] Отсюда: \[ \sin 21^\circ = \cos 69^\circ \approx 1 - \sin^2 37^\circ \approx \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Однако, чтобы найти стоимость \( \cos 21^\circ \), мы сделаем оценку: На основе предыдущих значений \( \cos 37^\circ \) и \( \sin 21^\circ \): Так что \( \sin 21^\circ \) может записаться как \( \sin(37^\circ - 16^\circ) \), что нам дает следующее соотношение: ### Шаг 5: Подсчет окончательного ответа С учетом отрицательного знака: \[ \cos 159^\circ = -\cos 21^\circ \] И учитывая, что значения требуют округлений и соотношений, как правило, можно принимать округленные значения, которые дают нам: \[ \cos 159^\circ \approx -\sin 37^\circ \approx -\frac{3}{5} \] ### Ответ: \[ \cos 159^\circ \approx -\frac{3}{5} \] Мы пришли к значению \( \cos 159^\circ \) с использованием известных данных и свойств тригонометрии.