вычисли значение cos 159°, зная, что cos 53 ≈ 3/5

Чтобы вычислить значение \( \cos 159^\circ \), мы можем использовать свойства тригонометрических функций.

Шаг 1: Применение формулы приведения

На углы, превышающие 90°, можно использовать формулу приведения. Угол \( 159^\circ \) находится во втором квадранте, где косинус отрицателен. Мы можем выразить его как:

\[ \cos 159^\circ = \cos (180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ \]

Шаг 2: Найти значение \( \cos 21^\circ \)

Теперь нам нужно узнать значение \( \cos 21^\circ \). Но в задаче указано, что \( \cos 53^\circ \approx \frac{3}{5} \).

Шаг 3: Использование дополнительного угла

Используя дополнительный угол, мы помним, что:

\[ \cos(90^\circ - x) = \sin x \]

Таким образом:

\[ \cos 53^\circ = \sin 37^\circ \]

Следовательно,

\[ \sin 37^\circ \approx \frac{3}{5} \]

Теперь, чтобы найти \( \cos 21^\circ \), мы воспользуемся еще одной тригонометрической формулой:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Отсюда мы можем выразить \( \cos 37^\circ \):

\[ \cos^2 37^\circ = 1 - \sin^2 37^\circ = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Таким образом,

\[ \cos 37^\circ \approx \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

Шаг 4: Найти \( \cos 21^\circ \)

Теперь используем соотношение:

\[ \cos(90^\circ - 21^\circ) = \sin 21^\circ \]

Отсюда:

\[ \sin 21^\circ = \cos 69^\circ \approx 1 - \sin^2 37^\circ \approx \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

Однако, чтобы найти стоимость \( \cos 21^\circ \), мы сделаем оценку:

На основе предыдущих значений \( \cos 37^\circ \) и \( \sin 21^\circ \):

Так что \( \sin 21^\circ \) может записаться как \( \sin(37^\circ - 16^\circ) \), что нам дает следующее соотношение:

Шаг 5: Подсчет окончательного ответа

С учетом отрицательного знака:

\[ \cos 159^\circ = -\cos 21^\circ \]

И учитывая, что значения требуют округлений и соотношений, как правило, можно принимать округленные значения, которые дают нам:

\[ \cos 159^\circ \approx -\sin 37^\circ \approx -\frac{3}{5} \]

Ответ:

\[ \cos 159^\circ \approx -\frac{3}{5} \]

Мы пришли к значению \( \cos 159^\circ \) с использованием известных данных и свойств тригонометрии.