Реши

Для решения задачи необходимо найти производную функции и подставить значения, указанные в условии. Функция дана как: \[ u = x^{x^2} - \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right) \] ### Шаг 1: Найдем производные #### Производная \( u \) по \( x \) 1. **Производная \( x^{x^2} \)**: \[ f(x) = x^{x^2} \] Воспользуемся методом логарифмической дифференциации: \[ \ln f(x) = x^2 \ln x \] Далее, дифференцируем обе стороны: \[ \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{df(x)}{dx} = 2x \ln x + \frac{x^2}{x} = 2x \ln x + x \] Таким образом: \[ \frac{df(x)}{dx} = x^{x^2} (2x \ln x + x) \] 2. **Производная \(- \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right)\)**: \[ g(x) = -\text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right) \] Воспользуемся производной арктангенса: \[ \frac{d}{dx}\left(\text{arctg} \, v\right) = \frac{1}{1+v^2}\cdot \frac{dv}{dx} \] В нашем случае: \[ v = \frac{y + x}{y} = 1 + \frac{x}{y} \] Значит, \[ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{y} \] И, соответственно, производная: \[ \frac{d}{dx} g(x) = -\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} \] ### Шаг 2: Подставим значения Нам нужно вычислить производную в точке \((2;1)\). 1. Подставляем в производную \(x^{x^2}\): \[ f'(2) = 2^{2^2} (2 \cdot 2 \ln 2 + 2) = 16 (4 \ln 2 + 2) \] 2. Подставляем значения в производную \(- \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right)\): В точке \((2;1)\), \[ v = 1 + \frac{2}{1} = 3 \] \[ g'(2) = -\frac{1}{1+3^2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{10} \] ### Итоговая производная в точке: \[ u'(2) = f'(2) + g'(2) = 16 (4 \ln 2 + 2) - \frac{1}{10} \] Необходимо численное значение: - \(\ln 2 \approx 0.693\) Подставляем: \[ u'(2) \approx 16 (4 \cdot 0.693 + 2) - 0.1 \] \[ \approx 16 (2.772 + 2) - 0.1 \] \[ \approx 16 \times 4.772 - 0.1 \] \[ \approx 76.352 - 0.1 \approx 76.252 \] Окончательный ответ: **76.25** (округлено до двух знаков после запятой).