реши
Для решения задачи необходимо найти производную функции и подставить значения, указанные в условии.
Функция дана как:
\[ u = x^{x^2} - \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right) \]
Шаг 1: Найдем производные
Производная \( u \) по \( x \)
- Производная \( x^{x^2} \):
\[ f(x) = x^{x^2} \] Воспользуемся методом логарифмической дифференциации:
\[ \ln f(x) = x^2 \ln x \]
Далее, дифференцируем обе стороны:
\[ \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{df(x)}{dx} = 2x \ln x + \frac{x^2}{x} = 2x \ln x + x \]
Таким образом:
\[ \frac{df(x)}{dx} = x^{x^2} (2x \ln x + x) \]
- Производная \(- \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right)\):
\[ g(x) = -\text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right) \]
Воспользуемся производной арктангенса:
\[ \frac{d}{dx}\left(\text{arctg} \, v\right) = \frac{1}{1+v^2}\cdot \frac{dv}{dx} \]
В нашем случае:
\[ v = \frac{y + x}{y} = 1 + \frac{x}{y} \]
Значит,
\[ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{y} \]
И, соответственно, производная:
\[ \frac{d}{dx} g(x) = -\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} \]
Шаг 2: Подставим значения
Нам нужно вычислить производную в точке \((2;1)\).
- Подставляем в производную \(x^{x^2}\):
\[ f'(2) = 2^{2^2} (2 \cdot 2 \ln 2 + 2) = 16 (4 \ln 2 + 2) \]
- Подставляем значения в производную \(- \text{arctg} \left( \frac{y + x}{y} \right)\):
В точке \((2;1)\),
\[ v = 1 + \frac{2}{1} = 3 \]
\[ g'(2) = -\frac{1}{1+3^2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{10} \]
Итоговая производная в точке:
\[ u'(2) = f'(2) + g'(2) = 16 (4 \ln 2 + 2) - \frac{1}{10} \]
Необходимо численное значение:
- \(\ln 2 \approx 0.693\)
Подставляем:
\[ u'(2) \approx 16 (4 \cdot 0.693 + 2) - 0.1 \]
\[ \approx 16 (2.772 + 2) - 0.1 \]
\[ \approx 16 \times 4.772 - 0.1 \]
\[ \approx 76.352 - 0.1 \approx 76.252 \]
Окончательный ответ: 76.25 (округлено до двух знаков после запятой).
