(х-4)(2х+1)(1-х)≤0

Для решения неравенства \((x - 4)(2x + 1)(1 - x) \leq 0\) давайте следовать поэтапно.

Шаг 1: Найдем нули функции

Сначала определим, при каких значениях \(x\) выражение \((x - 4)(2x + 1)(1 - x)\) равно нулю. Для этого нужно решить каждое из множителей на ноль:

1. \(x - 4 = 0 \implies x = 4\)
2. \(2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\)
3. \(1 - x = 0 \implies x = 1\)

Таким образом, значения, при которых произведение равно нулю, это:

• \(x_1 = 4\)
• \(x_2 = -\frac{1}{2}\)
• \(x_3 = 1\)

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь, когда мы нашли нули функции, мы можем разделить числовую прямую на интервалы, используя найденные значения:

• \((- \infty, -\frac{1}{2})\)
• \([- \frac{1}{2}, 1)\)
• \([1, 4)\)
• \([4, +\infty)\)

Шаг 3: Изучим знаки на каждом интервале

Теперь проверим знак неравенства \((x - 4)(2x + 1)(1 - x)\) на каждом из интервалов, выбрав точку из каждого интервала.

1. Для \(x < -\frac{1}{2}\), например, \(x = -1\): \[ (-1 - 4)(2(-1) + 1)(1 - (-1)) = (-5)(-1)(2) = 10 > 0 \]

2. Для \(-\frac{1}{2} < x < 1\), например, \(x = 0\): \[ (0 - 4)(2(0) + 1)(1 - 0) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \]

3. Для \(1 < x < 4\), например, \(x = 2\): \[ (2 - 4)(2(2) + 1)(1 - 2) = (-2)(5)(-1) = 10 > 0 \]

4. Для \(x > 4\), например, \(x = 5\): \[ (5 - 4)(2(5) + 1)(1 - 5) = (1)(11)(-4) = -44 < 0 \]

Шаг 4: Соберем ответы

Теперь составим таблицу знаков:

• \((- \infty, -\frac{1}{2})\) : \(+\)
• \([- \frac{1}{2}, 1)\) : \(-\)
• \([1, 4)\) : \(+\)
• \([4, +\infty)\) : \(-\)

Шаг 5: Учитывая знак неравенства

Мы ищем области, где \((x - 4)(2x + 1)(1 - x) \leq 0\). Это значит, что нам нужно выбрать интервалы, где выражение меньше нуля или равно нулю.

1. Включаем нули \(-\frac{1}{2}\), \(1\) и \(4\), так как неравенство допускает равенство нуля.
2. Итак, результатом будет: \[ x \in [-\frac{1}{2}, 1] \cup [4, +\infty) \]

Ответ

Таким образом, решение неравенства \((x - 4)(2x + 1)(1 - x) \leq 0\) выражается интервалами: \[ x \in [-\frac{1}{2}, 1] \cup [4, +\infty) \]

Если у вас остались вопросы по этому решению, не стесняйтесь спрашивать!