Lg(x-9)+lg (9x-1)=2
Рассмотрим уравнение:
\[ \lg(x-9) + \lg(9x-1) = 2 \]
Это уравнение содержит логарифмы, и задача состоит в том, чтобы решить его и выяснить, какие значения переменной \( x \) его удовлетворяют.
Шаг 1: Применим свойства логарифмов
Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[ \lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b) \]
Применим это свойство к нашему уравнению:
\[ \lg((x-9)(9x-1)) = 2 \]
Шаг 2: Уберем логарифм
Теперь мы можем убрать логарифм, преобразовав уравнение в экспоненциальную форму. Поскольку логарифм по основанию 10 равен 2, это означает, что:
\[ (x-9)(9x-1) = 10^2 \] \[ (x-9)(9x-1) = 100 \]
Шаг 3: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ x \cdot 9x - x \cdot 1 - 9 \cdot 9x + 9 \cdot 1 = 100 \] \[ 9x^2 - x - 81x + 9 = 100 \] \[ 9x^2 - 82x + 9 - 100 = 0 \] \[ 9x^2 - 82x - 91 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант определяется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 9 \), \( b = -82 \), \( c = -91 \). Подставим значения:
\[ D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-91) \] \[ D = 6724 + 3276 \] \[ D = 10000 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения
Теперь можем найти корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения для \( b \), \( D \) и \( a \):
\[ x = \frac{82 \pm 100}{2 \cdot 9} \]
Это даёт два значения:
- \( x_1 = \frac{182}{18} = 10.11 \)
- \( x_2 = \frac{-18}{18} = -1 \)
Шаг 6: Проверим условия
Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям логарифмов, то есть \( x-9 > 0 \) и \( 9x-1 > 0 \).
Для \( x_1 = 10.11 \):
- \( 10.11 - 9 > 0 \) (да)
- \( 9 \cdot 10.11 - 1 > 0 \) (да)
Для \( x_2 = -1 \):
- \( -1 - 9 > 0 \) (нет)
- \( 9 \cdot -1 - 1 > 0 \) (нет)
Таким образом, значение \( x_2 = -1 \) не подходит.
Ответ
Единственное решение уравнения:
\[ x \approx 10.11 \]
Это значение удовлетворяет исходному уравнению и условиям логарифмов.
