Lg(x-9)+lg (9x-1)=2

Рассмотрим уравнение: \[ \lg(x-9) + \lg(9x-1) = 2 \] Это уравнение содержит логарифмы, и задача состоит в том, чтобы решить его и выяснить, какие значения переменной \( x \) его удовлетворяют. ### Шаг 1: Применим свойства логарифмов Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b) \] Применим это свойство к нашему уравнению: \[ \lg((x-9)(9x-1)) = 2 \] ### Шаг 2: Уберем логарифм Теперь мы можем убрать логарифм, преобразовав уравнение в экспоненциальную форму. Поскольку логарифм по основанию 10 равен 2, это означает, что: \[ (x-9)(9x-1) = 10^2 \] \[ (x-9)(9x-1) = 100 \] ### Шаг 3: Раскроем скобки Теперь раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x \cdot 9x - x \cdot 1 - 9 \cdot 9x + 9 \cdot 1 = 100 \] \[ 9x^2 - x - 81x + 9 = 100 \] \[ 9x^2 - 82x + 9 - 100 = 0 \] \[ 9x^2 - 82x - 91 = 0 \] ### Шаг 4: Решим квадратное уравнение Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант определяется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 9 \), \( b = -82 \), \( c = -91 \). Подставим значения: \[ D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-91) \] \[ D = 6724 + 3276 \] \[ D = 10000 \] ### Шаг 5: Найдем корни уравнения Теперь можем найти корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения для \( b \), \( D \) и \( a \): \[ x = \frac{82 \pm 100}{2 \cdot 9} \] Это даёт два значения: 1. \( x_1 = \frac{182}{18} = 10.11 \) 2. \( x_2 = \frac{-18}{18} = -1 \) ### Шаг 6: Проверим условия Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям логарифмов, то есть \( x-9 > 0 \) и \( 9x-1 > 0 \). 1. Для \( x_1 = 10.11 \): - \( 10.11 - 9 > 0 \) (да) - \( 9 \cdot 10.11 - 1 > 0 \) (да) 2. Для \( x_2 = -1 \): - \( -1 - 9 > 0 \) (нет) - \( 9 \cdot -1 - 1 > 0 \) (нет) Таким образом, значение \( x_2 = -1 \) не подходит. ### Ответ Единственное решение уравнения: \[ x \approx 10.11 \] Это значение удовлетворяет исходному уравнению и условиям логарифмов.