Чтобы решить уравнение ( 21y^2 - 2y - 3 = 0 ) с использованием дискриминанта, мы выполним следующие шаги.
Шаг 1: Определим коэффициенты
Уравнение имеет стандартный вид ( ay^2 + by + c = 0 ), где:
- ( a = 21 )
- ( b = -2 )
- ( c = -3 )
Шаг 2: Вычислим дискриминант
Дискриминант (( D )) находят по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставляем наши значения:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-3)
]
Шаг 3: Упростим выражение
Выполним вычисления:
[
D = 4 + 252 = 256
]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Поскольку дискриминант положителен (( D > 0 )), у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Теперь подставим значения ( b ), ( D ) и ( a ):
[
y_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 21}
]
Шаг 5: Вычислим корни
Находим корни:
[
y_{1,2} = \frac{2 \pm 16}{42}
]
Теперь у нас есть два случая для корней:
- ( y_1 = \frac{2 + 16}{42} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7} )
- ( y_2 = \frac{2 - 16}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3} )
Ответ
Таким образом, у уравнения ( 21y^2 - 2y - 3 = 0 ) два корня:
[
y_1 = \frac{3}{7}, \quad y_2 = -\frac{1}{3}
]
Это полный процесс решения уравнения через дискриминант. Если у вас есть вопросы по каждому шагу или нужно объяснить что-то более конкретно, дайте знать!
