Выполните пожалуйста задания по алгебре по тригонометрическим выражениям, изображённым на листочке.

Давайте разберём каждое задание по порядку.

Задание 1

a) Вычислите \( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} \).

1. Вычисляем \( \sin \frac{\pi}{2} \): \[ \sin \frac{\pi}{2} = 1 \]

2. Вычисляем \( \cos \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \]

3. Разность: \[ \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} = 1 - 0 = 1 \]

Ответ: \( 1 \).

б) \( \tg \pi + \cos \pi \).

1. Вычисляем \( \tg \pi \): \[ \tg \pi = 0 \]

2. Вычисляем \( \cos \pi \): \[ \cos \pi = -1 \]

3. Сумма: \[ \tg \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1 \]

Ответ: \(-1\).

в) \( \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{2}) \).

1. Используем четность/нечетность тригонометрических функций:

   • \(\cos(-x) = \cos x\)
   • \(\sin(-x) = -\sin x\)

2. Вычисляем \( \cos(-\frac{\pi}{2}) \): \[ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \]

3. Вычисляем \( \sin(-\frac{\pi}{2}) \): \[ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1 \]

4. Сумма: \[ \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 = -1 \]

Ответ: \(-1\).

Задание 2

a) Найдите значение выражения \( \sin \frac{\pi}{2} - 2 \cos \frac{5\pi}{2} - \tg \frac{\pi}{2} \).

1. Вычисляем \( \sin \frac{\pi}{2} \): \[ \sin \frac{\pi}{2} = 1 \]

2. Вычисляем \( \cos \frac{5\pi}{2} \): \[ \cos \frac{5\pi}{2} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \]

3. Вычисляем \( \tg \frac{\pi}{2} \) (неопределено, но обычно рассматривается как тенденция к \(\infty\) или минус \(\infty\) в контексте предела). В данной задаче можем считать, что значение бесконечно.

Выражение математически не имеет конечного результата, поскольку \(\tg \frac{\pi}{2}\) не определён.

б) \( 2 \sin(-\frac{\pi}{4}) - \frac{\cos^2 \pi}{4} \).

1. Вычисляем \( \sin(-\frac{\pi}{4}) \): \[ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Вычисляем \( 2 \sin(-\frac{\pi}{4}) \): \[ 2 \times -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \]

3. Вычисляем \( \cos \pi \): \[ \cos \pi = -1 \]

4. Вычисляем \( \frac{\cos^2 \pi}{4} \): \[ \frac{(-1)^2}{4} = \frac{1}{4} \]

5. Разность: \[ -\sqrt{2} - \frac{1}{4} \]

Ответ: \(-\sqrt{2} - \frac{1}{4}\).

Задание 3

Вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если \(\cos a = -0.8\) и \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\).

1. Так как \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), угол \(a\) находится в 2-й четверти:

   • \(\sin a > 0\)
   • \(\cos a < 0\)
   • \(\tg a < 0\)

2. Найдём \(\sin a\) зная \(\cos a = -0.8\):

   \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

   \[ \sin^2 a + (-0.8)^2 = 1 \]

   \[ \sin^2 a + 0.64 = 1 \]

   \[ \sin^2 a = 0.36 \]

   \[ \sin a = \sqrt{0.36} = 0.6 \]

3. Найдём \(\tg a\):

   \[ \tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0.6}{-0.8} = -0.75 \]

Ответ:
\(\sin a = 0.6\), \(\cos a = -0.8\), \(\tg a = -0.75\).