Кубик бросают 7 раз. Случайная величина z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала единица. Найди вероятность того, что z= 1.

Для решения данной задачи мы воспользуемся понятием биномиального распределения. ### Шаг 1: Определим параметры задачи 1. Количество бросков кубика (n) = 7. 2. Вероятность того, что на каждом броске выпадет единица (p) = 1/6 (так как на кубике 6 граней, и только одна из них — единица). 3. Вероятность того, что на каждом броске не выпадет единица (q) = 1 - p = 5/6. ### Шаг 2: Определим случайную величину Случайная величина z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала единица. Мы хотим найти вероятность того, что z=1 (то есть единица выпала ровно один раз). ### Шаг 3: Формула биномиального распределения Вероятность того, что случайная величина z примет значение k (где k — количество успешных исходов, в нашем случае единиц), задается формулой: \[ P(z = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k успехов из n попыток, вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - p — вероятность успеха (выпадение единицы) = 1/6. - q — вероятность неудачи = 5/6. - n — общее количество бросков = 7. - k — количество успехов (в нашем случае k = 1). ### Шаг 4: Подставим значения в формулу 1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(7, 1) \): \[ C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 6!}{1 \cdot 6!} = 7 \] 2. Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(z = 1) = C(7, 1) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{7-1} \] \[ P(z = 1) = 7 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{6} \] 3. Посчитаем \( \left( \frac{5}{6} \right)^6 \): \[ \left( \frac{5}{6} \right)^6 = \frac{15625}{46656} \quad \text{(приблизительно 0.335)} \] 4. Теперь подставим это значение в формулу: \[ P(z = 1) = 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{15625}{46656} \] 5. Упрощаем: \[ P(z = 1) = \frac{7 \cdot 15625}{6 \cdot 46656} \] Вычислим: \[ P(z = 1) = \frac{109375}{279936} \quad \text{(приблизительно 0.390)} \] ### Ответ Итак, вероятность того, что единица выпала ровно один раз за 7 бросков кубика, составляет: \[ P(z = 1) \approx 0.390 \quad \text{или} \quad 39.0\% \] Это и есть окончательный ответ.