Кубик бросают 7 раз. Случайная величина z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала единица. Найди вероятность того, что z= 1.
Для решения данной задачи мы воспользуемся понятием биномиального распределения.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Количество бросков кубика (n) = 7.
- Вероятность того, что на каждом броске выпадет единица (p) = 1/6 (так как на кубике 6 граней, и только одна из них — единица).
- Вероятность того, что на каждом броске не выпадет единица (q) = 1 - p = 5/6.
Шаг 2: Определим случайную величину
Случайная величина z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала единица. Мы хотим найти вероятность того, что z=1 (то есть единица выпала ровно один раз).
Шаг 3: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что случайная величина z примет значение k (где k — количество успешных исходов, в нашем случае единиц), задается формулой:
\[ P(z = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k успехов из n попыток, вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- p — вероятность успеха (выпадение единицы) = 1/6.
- q — вероятность неудачи = 5/6.
- n — общее количество бросков = 7.
- k — количество успехов (в нашем случае k = 1).
Шаг 4: Подставим значения в формулу
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(7, 1) \):
\[ C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 6!}{1 \cdot 6!} = 7 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(z = 1) = C(7, 1) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{7-1} \]
\[ P(z = 1) = 7 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{6} \]
- Посчитаем \( \left( \frac{5}{6} \right)^6 \):
\[ \left( \frac{5}{6} \right)^6 = \frac{15625}{46656} \quad \text{(приблизительно 0.335)} \]
- Теперь подставим это значение в формулу:
\[ P(z = 1) = 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{15625}{46656} \]
- Упрощаем:
\[ P(z = 1) = \frac{7 \cdot 15625}{6 \cdot 46656} \]
Вычислим:
\[ P(z = 1) = \frac{109375}{279936} \quad \text{(приблизительно 0.390)} \]
Ответ
Итак, вероятность того, что единица выпала ровно один раз за 7 бросков кубика, составляет:
\[ P(z = 1) \approx 0.390 \quad \text{или} \quad 39.0\% \]
Это и есть окончательный ответ.
