Чтобы найти площадь четырёхугольника с известными длинами сторон и углом между двумя из них, воспользуемся формулой для вычисления площади прямоугольника и треугольника. В данной задаче у нас есть стороны длиной 3 и 4, которые образуют прямой угол (90°).
Шаг 1: Определяем фигуру
У нас есть четырехугольник, у которого длины сторон равны 3, 4, 12 и 13. Поскольку угол между сторонами 3 и 4 равен 90°, это означает, что мы можем разбить наш четырехугольник на прямоугольный треугольник и второй треугольник.
Шаг 2: Вычисляем площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (a) и (b) — длины перпендикулярных сторон. В нашем случае:
[
a = 3 \quad (одна сторона)
]
[
b = 4 \quad (другая сторона)
]
Подставляем значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6
]
Шаг 3: Вычисляем площадь второго треугольника
Оставшаяся часть четырёхугольника — это треугольник, у которого стороны равны 12 и 13. Чтобы найти его площадь, нам сначала нужно узнать длину стороны, которая соединяет точки, где примыкают стороны длиной 3 и 4.
Поскольку у нас угол 90°, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину этой стороны (c):
[
c^2 = a^2 + b^2
]
[
c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
]
[
c = \sqrt{25} = 5
]
Теперь у нас есть стороны треугольника: 5, 12 и 13.
Шаг 4: Проверяем, является ли треугольник прямоугольным
В данном случае, 5, 12 и 13 также образуют прямоугольный треугольник, так как:
[
5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2
]
Шаг 5: Вычисляем площадь второго треугольника
Теперь мы можем найти площадь второго треугольника по формуле для прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30
]
Шаг 6: Находим общую площадь четырёхугольника
Теперь просто добавим площади обоих треугольников:
[
S_{общая} = S_1 + S_2 = 6 + 30 = 36
]
Ответ
Площадь четырёхугольника равна 36 квадратных единиц.
