Найдите площадь четырёхугольника, если длины его сторон равны 3, 4, 12 и 13, а угол между меньшими из этих сторон равен 90° (рис. 10).

Чтобы найти площадь четырёхугольника с известными длинами сторон и углом между двумя из них, воспользуемся формулой для вычисления площади прямоугольника и треугольника. В данной задаче у нас есть стороны длиной 3 и 4, которые образуют прямой угол (90°).

Шаг 1: Определяем фигуру

У нас есть четырехугольник, у которого длины сторон равны 3, 4, 12 и 13. Поскольку угол между сторонами 3 и 4 равен 90°, это означает, что мы можем разбить наш четырехугольник на прямоугольный треугольник и второй треугольник.

Шаг 2: Вычисляем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

где \(a\) и \(b\) — длины перпендикулярных сторон. В нашем случае:

\[ a = 3 \quad (одна сторона) \] \[ b = 4 \quad (другая сторона) \]

Подставляем значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \]

Шаг 3: Вычисляем площадь второго треугольника

Оставшаяся часть четырёхугольника — это треугольник, у которого стороны равны 12 и 13. Чтобы найти его площадь, нам сначала нужно узнать длину стороны, которая соединяет точки, где примыкают стороны длиной 3 и 4.

Поскольку у нас угол 90°, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину этой стороны \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ c = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь у нас есть стороны треугольника: 5, 12 и 13.

Шаг 4: Проверяем, является ли треугольник прямоугольным

В данном случае, 5, 12 и 13 также образуют прямоугольный треугольник, так как:

\[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \]

Шаг 5: Вычисляем площадь второго треугольника

Теперь мы можем найти площадь второго треугольника по формуле для прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \]

Шаг 6: Находим общую площадь четырёхугольника

Теперь просто добавим площади обоих треугольников:

\[ S_{общая} = S_1 + S_2 = 6 + 30 = 36 \]

Ответ

Площадь четырёхугольника равна 36 квадратных единиц.