Вычислить количество точек с целочисленными координа¬тами, находящихся в круге радиуса R (R > 0). Решить на языке C++

Для вычисления количества точек с целочисленными координатами, находящихся внутри круга радиуса ( R ), можно воспользоваться свойством расстояния от центра круга до каждой такой точки. Круг радиуса ( R ), центрированный в начале координат (0, 0), описывается уравнением:

[ x^2 + y^2 \leq R^2 ]

где ( (x, y) ) — координаты точек.

Шаги решения:

1. Определите границы для координат ( x ) и ( y ):

   • Поскольку круг симметричен относительно обеих осей, мы можем рассматривать только одну четверть круга, а потом удвоить или утроить результат в зависимости от положительности координат.
   • Для каждой целочисленной точки ( x ) у нас будет ( y ) от ( 0 ) до ( \sqrt{R^2 - x^2} ).

2. Цикл по значениям ( x ):

   • Перебирайте значения ( x ) от (-R) до ( R).
   • Для каждого значения ( x ) вычисляйте максимальное значение ( y ), которое удовлетворяет условию ( x^2 + y^2 \leq R^2 ).

3. Подсчет точек:

   • Каждое целое значение ( y ) от ( -\sqrt{R^2 - x^2} ) до ( \sqrt{R^2 - x^2} ) будет являться допустимой точкой в круге.

Пример кода на C++:

#include <iostream>
#include <cmath>

int countIntegerPointsInCircle(int R) {
    int count = 0;
    
    // Проходим по всем x от -R до R
    for (int x = -R; x <= R; ++x) {
        // Вычисляем максимальное значение y
        int maxY = static_cast<int>(sqrt(R * R - x * x));
        
        // Для каждого x добавляем количество y от -maxY до maxY
        // Это 2 * maxY + 1 (положительные и отрицательные y + 0)
        count += (2 * maxY + 1);
    }
    
    return count;
}

int main() {
    int R;
    std::cout << "Введите радиус R: ";
    std::cin >> R;

    if (R > 0) {
        int result = countIntegerPointsInCircle(R);
        std::cout << "Количество целочисленных точек в круге радиуса " << R << ": " << result << std::endl;
    } else {
        std::cout << "Радиус должен быть положительным!" << std::endl;
    }

    return 0;
}

Объяснение кода:

• Мы определяем функцию countIntegerPointsInCircle, которая принимает радиус ( R ) и возвращает количество целочисленных точек.
• В цикле перебираем все значения ( x ) от (-R) до ( R).
• Для каждого ( x ) вычисляем максимальное целое значение ( y ), используя формулу ( \sqrt{R^2 - x^2} ).
• Количество допустимых ( y ) равно ( 2 \times \text{maxY} + 1 ) (включая ноль).
• Наконец, возвращаем общее количество точек в круге.

Этот код даст вам знать, сколько точек с целочисленными координатами находится в круге с заданным радиусом ( R ).