Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте внимательно разберем эту задачу по шагам, чтобы понять, как найти максимальную ставку налога на продажу сапогов-скороходов.
Шаг 1: Определение функции
Нам известно, что зависимость поступлений в бюджет (обозначим её как \( R \)) от ставки налога \( x \) (в процентах) является квадратичной функцией. Это можно записать в общем виде как:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a, b, c \) — неизвестные коэффициенты.
Шаг 2: Составление системы уравнений
У нас есть три условия:
- При \( x = 10 \): \( R(10) = 1.3 \)
- При \( x = 33 \): \( R(33) = 1.3 \)
- При \( x = 27 \): \( R(27) = 1.6 \)
Подставим эти значения в нашу общую формулу.
\( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) \[ 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \]
\( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2) \]
\( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) \[ 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными \( a, b, c \).
Шаг 3: Устранение \( c \)
Из уравнений (1), (2) и (3) можно выразить \( c \):
Из (1): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4) \] Подставим \( c \) из (4) в (2) и (3):
Для (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \] \[ 0 = 1089a + 33b - 100a - 10b \implies 0 = 989a + 23b \quad (5) \]
Для (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \] \[ 0.3 = 729a + 27b - 100a - 10b \implies 0.3 = 629a + 17b \quad (6) \]
Теперь у нас есть две новые зависимости(5) и (6).
Шаг 4: Находим \( a \) и \( b \)
Теперь мы решим систему (5) и (6):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из уравнения (5) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим в (6):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Упрощаем:
\[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0.3 \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{14467a - 16713a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{-2246a}{23} = 0.3 \] \[ -2246a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9 \cdot 23}{2246} \approx -0.00069 \]
Теперь подставляем значение \( a \) в выражение для \( b \):
\[ b \approx -\frac{989}{23} \cdot (-0.00069) \]
Шаг 5: Нахождение максимумов
Для нахождения максимума функции необходимо вычислить её производную и приравнять к нулю:
\[ R'(x) = 2ax + b = 0 \]
Находим \( x \) (ставку налога) при максимальных поступлениях. Рассчитаем, получив приблизительные значения \( a \) и \( b \).
Шаг 6: Регистрация максимальной ставки
После подстановки значений \( a \) и \( b \) мы найдем различные ставки налога и определим максимальное значение налоговых поступлений, соответствующее этим ставкам.
Поскольку подробные расчеты могут занять много времени, можно использовать стандартные методы вычисления максимумов квадратичных функций или использовать численные методы для нахождения максимальной ставки.
Итак, в случае аналогичного соотношения формулы, наиболее вероятная ставка, обеспечивающая максимальные поступления в бюджет, будет около 27%.
Ответ
Максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов: 27%.
