Исследуйте функцию x²-2x+3

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \), давайте пройдемся по нескольким шагам: ### Шаг 1: Определение типа функции Функция \( f(x) \) является квадратной (или полиномиальной) функцией, так как её основной член — это \( x^2 \). ### Шаг 2: Нахождение вершинной формы Для удобства анализа функции, мы можем преобразовать ее в вершинную форму. Для этого найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы для функции вида \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Где: - \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)) - \( b = -2 \) (коэффициент при \( x \)) Подставим значения: \[ x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Теперь подставим полученное значение \( x_v \) обратно в функцию, чтобы найти соответствующее значение функции в этой точке: \[ f(1) = (1)^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Следовательно, координаты вершины параболы: \( (1, 2) \). ### Шаг 3: Интервал возрастания и убывания Так как \( a = 1 \) положительное, парабола открыта вверх. Это подразумевает, что: - Функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \) - Функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \) ### Шаг 4: Нахождение нулей функции Чтобы найти нули функции, решаем уравнение: \[ x^2 - 2x + 3 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что у данного уравнения нет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось \( x \). ### Шаг 5: Анализ значений функции Мониторим поведение функции: - Минимальное значение функции, достигаемое в вершине, равно \( 2 \) (при \( x = 1 \)). - Значения функции \( f(x) \) для \( x \) стремящегося к бесконечности будут стремиться к бесконечности. ### Шаг 6: График функции Если мы нарисуем график функции, то это будет парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (1, 2) \) и не касающаяся оси \( x \). ### Итог Таким образом, функции \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) имеет следующие характеристики: - Вершина: \( (1, 2) \) - Интервал возрастания: \( (1, \infty) \) - Интервал убывания: \( (-\infty, 1) \) - Нули функции: отсутствуют (функция не пересекает ось \( x \)) - Минимальное значение: \( 2 \) при \( x = 1 \) Если у вас остались вопросы или вы хотите более подробное объяснение по какому-либо аспекту, не стесняйтесь спрашивать!