исследуйте функцию x²-2x+3

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \), давайте пройдемся по нескольким шагам:

Шаг 1: Определение типа функции

Функция \( f(x) \) является квадратной (или полиномиальной) функцией, так как её основной член — это \( x^2 \).

Шаг 2: Нахождение вершинной формы

Для удобства анализа функции, мы можем преобразовать ее в вершинную форму. Для этого найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы для функции вида \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]

Где:

• \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \))
• \( b = -2 \) (коэффициент при \( x \))

Подставим значения:

\[ x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь подставим полученное значение \( x_v \) обратно в функцию, чтобы найти соответствующее значение функции в этой точке:

\[ f(1) = (1)^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \]

Следовательно, координаты вершины параболы: \( (1, 2) \).

Шаг 3: Интервал возрастания и убывания

Так как \( a = 1 \) положительное, парабола открыта вверх. Это подразумевает, что:

• Функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \)
• Функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \)

Шаг 4: Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, решаем уравнение:

\[ x^2 - 2x + 3 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \]

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что у данного уравнения нет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось \( x \).

Шаг 5: Анализ значений функции

Мониторим поведение функции:

• Минимальное значение функции, достигаемое в вершине, равно \( 2 \) (при \( x = 1 \)).
• Значения функции \( f(x) \) для \( x \) стремящегося к бесконечности будут стремиться к бесконечности.

Шаг 6: График функции

Если мы нарисуем график функции, то это будет парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (1, 2) \) и не касающаяся оси \( x \).

Итог

Таким образом, функции \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) имеет следующие характеристики:

• Вершина: \( (1, 2) \)
• Интервал возрастания: \( (1, \infty) \)
• Интервал убывания: \( (-\infty, 1) \)
• Нули функции: отсутствуют (функция не пересекает ось \( x \))
• Минимальное значение: \( 2 \) при \( x = 1 \)

Если у вас остались вопросы или вы хотите более подробное объяснение по какому-либо аспекту, не стесняйтесь спрашивать!