Чтобы найти первообразные функции ( f(x) = 2x^4 + x ), интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Первообразная функции, или неопределенный интеграл, записывается в общем виде как:
[
\int f(x) , dx = \int (2x^4 + x) , dx = \int 2x^4 , dx + \int x , dx
]
Рассмотрим каждое слагаемое:
- Для (\int 2x^4 , dx):
Используем правило:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
Получаем:
[
\int 2x^4 , dx = 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{2x^5}{5}
]
- Для (\int x , dx):
[
\int x , dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}
]
Объединяем результаты:
[
\int (2x^4 + x) , dx = \frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + C
]
Теперь найдем фунции, которые могут быть первообразными (f(x)), проверяя предложенные варианты:
(F(x) = \frac{x^5}{6} + 4x^3 + 0.25x^2 - 4)
Первое слагаемое должно быть (\frac{2x^5}{5}), а в данном случае это (\frac{x^5}{6}). Это не является первообразной.
(F(x) = \frac{x^5}{12} + 6x^3 + \frac{x^2}{4} - 2)
Первое слагаемое должно быть (\frac{2x^5}{5}), а в данном случае это (\frac{x^5}{12}). Это не является первообразной.
(F(x) = \frac{x^5}{8} + 2x^3 + 3x + \frac{1}{5})
Первое слагаемое должно быть (\frac{2x^5}{5}), а в данном случае это (\frac{x^5}{8}). Это не является первообразной.
Таким образом, ни один из предложенных вариантов не является первообразной (f(x)). Правильная форма первообразной функции должна быть (\frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + C).
