Дана функция f(x)=2x^4+x. Выбери все первообразные этой функции
Чтобы найти первообразные функции \( f(x) = 2x^4 + x \), интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Первообразная функции, или неопределенный интеграл, записывается в общем виде как:
\[ \int f(x) \, dx = \int (2x^4 + x) \, dx = \int 2x^4 \, dx + \int x \, dx \]
Рассмотрим каждое слагаемое:
- Для \(\int 2x^4 \, dx\):
Используем правило:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Получаем:
\[ \int 2x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{2x^5}{5} \]
- Для \(\int x \, dx\):
\[ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \]
Объединяем результаты:
\[ \int (2x^4 + x) \, dx = \frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + C \]
Теперь найдем фунции, которые могут быть первообразными \(f(x)\), проверяя предложенные варианты:
\(F(x) = \frac{x^5}{6} + 4x^3 + 0.25x^2 - 4\)
Первое слагаемое должно быть \(\frac{2x^5}{5}\), а в данном случае это \(\frac{x^5}{6}\). Это не является первообразной.
\(F(x) = \frac{x^5}{12} + 6x^3 + \frac{x^2}{4} - 2\)
Первое слагаемое должно быть \(\frac{2x^5}{5}\), а в данном случае это \(\frac{x^5}{12}\). Это не является первообразной.
\(F(x) = \frac{x^5}{8} + 2x^3 + 3x + \frac{1}{5}\)
Первое слагаемое должно быть \(\frac{2x^5}{5}\), а в данном случае это \(\frac{x^5}{8}\). Это не является первообразной.
Таким образом, ни один из предложенных вариантов не является первообразной \(f(x)\). Правильная форма первообразной функции должна быть \(\frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + C\).
