Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна 35 см, а длины ребер относятся как 2 : 3 : 6. Найдите объем параллелепипеда

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, когда известна длина его диагонали и соотношение длин его ребер, мы разбиваем задачу на несколько шагов.

1. Обозначим длины ребер:
   Пусть длины ребер параллелепипеда равны \( 2x, 3x \) и \( 6x \), где \( x \) — это некая общая величина.

2. Используем формулу для нахождения длины диагонали:
   Длина диагонали \( d \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] где \( a, b, c \) — это длины ребер. Подставим наши значения ребер: \[ d = \sqrt{(2x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2} \]

3. Упростим выражение:
   Подставляем длины ребер и упрощаем: \[ d = \sqrt{(4x^2) + (9x^2) + (36x^2)} = \sqrt{49x^2} = 7x \]

4. Сравним с известной длиной диагонали:
   Мы знаем, что \( d = 35 \) см, поэтому можем записать: \[ 7x = 35 \]

5. Решим уравнение для \( x \): \[ x = \frac{35}{7} = 5 \]

6. Теперь найдём длины ребер:
   Подставляем \( x \) в формулы для длины ребер:

   • \( a = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \) см
   • \( b = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \) см
   • \( c = 6x = 6 \cdot 5 = 30 \) см

7. Находим объем параллелепипеда:
   Объем \( V \) параллелепипеда рассчитывается по формуле: \[ V = a \cdot b \cdot c \] Подставляем найденные значения: \[ V = 10 \cdot 15 \cdot 30 \]

8. Вычислим объем: \[ V = 10 \cdot 15 = 150 \] \[ V = 150 \cdot 30 = 4500 \text{ см}^3 \]

Таким образом, объем параллелепипеда равен 4500 см³.