Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 48 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения этой задачи мы можем использовать метод уравнений.

Обозначим:

• \( x \) — время, за которое первый дизайнер завершает работу самостоятельно.
• \( y \) — время, за которое второй дизайнер завершает работу самостоятельно.

Шаг 1: Составим уравнения на основе предоставленной информации.

1. Совместная работа: Два дизайнера, работая вместе, выполняют заказ за 48 часов. Можно записать это как: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \] Здесь \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{y}\) — скорости работы первого и второго дизайнера соответственно.

2. Половина работы каждым дизайнером: Если бы один дизайнер выполнил половину работы, а затем второй завершил её, то работа заняла бы 121 час. В этом случае:

   • Первый дизайнер выполняет половину работы за \(\frac{1}{2} x\) часов.
   • Второй дизайнер выполняет вторую половину работы за \(\frac{1}{2} y\) часов.

   Всё время по этому сценарию можно записать как: \[ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 121 \] Умножив всё уравнение на 2, получаем: \[ x + y = 242 \]

Шаг 2: Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}\) (1)
2. \(x + y = 242\) (2)

Из уравнения (2) выразим \(y\): \[ y = 242 - x \]

Подставим это выражение для \(y\) в уравнение (1): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{242 - x} = \frac{1}{48} \]

Шаг 3: Найдем общее уравнение.

Умножим всё уравнение на \(x(242 - x) \cdot 48\) (чтобы избавиться от дробей): \[ 48(242 - x) + 48x = x(242 - x) \]

Распишем и упростим уравнение: \[ 11616 - 48x + 48x = 242x - x^2 \] \[ 11616 = 242x - x^2 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ x^2 - 242x + 11616 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11616 \] \[ D = 58564 - 46464 = 12100 \]

Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{242 \pm 110}{2} \]

Таким образом, у нас два возможных значения для \(x\):

1. \(x_1 = \frac{352}{2} = 176\)
2. \(x_2 = \frac{132}{2} = 66\)

Шаг 5: Найдем значения \(y\).

Теперь подставим \(x\) в уравнение \(y = 242 - x\):

• Если \(x = 176\), то \(y = 242 - 176 = 66\).
• Если \(x = 66\), то \(y = 242 - 66 = 176\).

Ответ.

Таким образом, первый дизайнер может оформить учебник за 176 часов, а второй — за 66 часов, или наоборот.

Итог:

• Первый дизайнер: 176 часов
• Второй дизайнер: 66 часов