Для решения этой задачи мы можем использовать метод уравнений.
Обозначим:
- ( x ) — время, за которое первый дизайнер завершает работу самостоятельно.
- ( y ) — время, за которое второй дизайнер завершает работу самостоятельно.
Шаг 1: Составим уравнения на основе предоставленной информации.
Совместная работа:
Два дизайнера, работая вместе, выполняют заказ за 48 часов. Можно записать это как:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}
]
Здесь (\frac{1}{x}) и (\frac{1}{y}) — скорости работы первого и второго дизайнера соответственно.
Половина работы каждым дизайнером:
Если бы один дизайнер выполнил половину работы, а затем второй завершил её, то работа заняла бы 121 час. В этом случае:
- Первый дизайнер выполняет половину работы за (\frac{1}{2} x) часов.
- Второй дизайнер выполняет вторую половину работы за (\frac{1}{2} y) часов.
Всё время по этому сценарию можно записать как:
[
\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 121
]
Умножив всё уравнение на 2, получаем:
[
x + y = 242
]
Шаг 2: Решим систему уравнений.
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}) (1)
- (x + y = 242) (2)
Из уравнения (2) выразим (y):
[
y = 242 - x
]
Подставим это выражение для (y) в уравнение (1):
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{242 - x} = \frac{1}{48}
]
Шаг 3: Найдем общее уравнение.
Умножим всё уравнение на (x(242 - x) \cdot 48) (чтобы избавиться от дробей):
[
48(242 - x) + 48x = x(242 - x)
]
Распишем и упростим уравнение:
[
11616 - 48x + 48x = 242x - x^2
]
[
11616 = 242x - x^2
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
x^2 - 242x + 11616 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11616
]
[
D = 58564 - 46464 = 12100
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{242 \pm 110}{2}
]
Таким образом, у нас два возможных значения для (x):
- (x_1 = \frac{352}{2} = 176)
- (x_2 = \frac{132}{2} = 66)
Шаг 5: Найдем значения (y).
Теперь подставим (x) в уравнение (y = 242 - x):
- Если (x = 176), то (y = 242 - 176 = 66).
- Если (x = 66), то (y = 242 - 66 = 176).
Ответ.
Таким образом, первый дизайнер может оформить учебник за 176 часов, а второй — за 66 часов, или наоборот.
Итог:
- Первый дизайнер: 176 часов
- Второй дизайнер: 66 часов
