Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Площадь участка ( S = 30 , \text{м}^2 ).
- Длина забора (периметр участка) ( P = 22 , \text{м} ).
Ищем: размеры участка в метрах, то есть длину и ширину.
Обозначим:
- длину участка ( L ) (в метрах),
- ширину участка ( W ) (в метрах).
Шаг 1: Составим уравнения.
Площадь прямоугольника (участка) вычисляется по формуле:
[
S = L \times W
]
То есть:
[
L \times W = 30
]
(1)
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
[
P = 2L + 2W
]
То есть:
[
2L + 2W = 22
]
Упростим это уравнение, разделим обе стороны на 2:
[
L + W = 11
]
(2)
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( L \times W = 30 )
- ( L + W = 11 )
Шаг 2: Выразим одну переменную через другую.
Из уравнения (2) выразим ( W ):
[
W = 11 - L
]
Шаг 3: Подставим это выражение в первое уравнение.
Теперь подставим ( W ) в уравнение (1):
[
L \times (11 - L) = 30
]
Раскроем скобки:
[
11L - L^2 = 30
]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
[
L^2 - 11L + 30 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:
[
L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -11, c = 30 ).
Посчитаем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
L = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 1}{2}
]
Это дает нам два решения:
[
L_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad L_2 = \frac{10}{2} = 5
]
Шаг 5: Найдем ширину ( W ).
Теперь, используя выражение для ( W ):
- Если ( L = 6 ), то ( W = 11 - 6 = 5 ).
- Если ( L = 5 ), то ( W = 11 - 5 = 6 ).
Таким образом, размеры участка:
- длина ( L = 6 , \text{м} )
- ширина ( W = 5 , \text{м} )
Ответ: Участок имеет размеры 6 м на 5 м.
