Задание 9. Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом - больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал: - Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я. Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с условиями и запишем все известные факты. 1. У нас есть 32 сотрудника в трёх отделениях банка. 2. Пусть количество сотрудников в малом отделении обозначим как \( x \), в среднем - как \( y \), а в большом - как \( z \). 3. Сумма сотрудников в всех отделениях равна 32, то есть: \[ x + y + z = 32 \] 4. Сказано, что в малом отделении сотрудников меньше, а в большом - больше, чем в среднем. Это означает, что: \[ x < y < z \] 5. Теперь проанализируем мысли сотрудников. Каждый сотрудник подумал, что если сосед справа из более крупного отделения, то он будет неправ. Ошибочные мысли (т.е. когда сосед сидит из большого отделения, а не из среднего или малого) составляют 20 из 32. 6. Пусть среди 32 сотрудников всего \( a \) сотрудников из малого отделения, \( b \) - из среднего, \( c \) - из большого. Важно также, что: \[ a + b + c = 32 \] 7. Если \( b \) - количество сотрудников среднего отделения, то: \[ c = 32 - (a + b) \] 8. Теперь рассмотрим, сколько из 32 сидящих сотрудников будут ошибаться в своих мыслях. Сотрудник из малого отделения не может сказать, что соседа из среднего отделения. Сотрудники из среднего отделения могут по ошибке думать, что сосед из большого. То есть, ошибачные мысли исходят только от среднего отделения (которые, несмотря на то, что они из среднего, могут ошибочно считать, что сосед из большого). 9. Количество ошибок составит \( c \) сотрудников из большого отделения, а именно количество таких ошибок будет равно количеству сотрудников из среднего отделения: \[ b = 20 \] 10. Теперь подставим это значение в основное уравнение \( x + y + z = 32 \): \[ x + 20 + z = 32 \Rightarrow x + z = 12 \] 11. Теперь учитывая, что \( x < 20 < z \), можем выделить пару случаев. Например, возможно \( x = 5 \) и \( z = 7 \), или другой вариант. 12. В общем, давайте попробуем выяснить другие значения исходя из правила, что \( z > y > x \). Таким образом, допустимые варианты: - Если \( x = 5 \), тогда \( z = 7 \): Но это не работает, так как \( y = 20 \) тоже. - Если \( x = 8 \), тогда \( z = 4 \) тоже не подходит, 13. Подходящее значение для среднего отдела, таким образом, окажется \( b = 20 \), что изначально соответствует заданному условию. Таким образом, \( y = 20 \) - количества сотрудников в среднем отделе.