Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. Мы знаем, что зависимость поступления налогов от ставки налога на продажу представляет собой квадратичную функцию. Предположим, что зависимость можно записать в виде: \[ P(t) = at^2 + bt + c \] где: - \( P(t) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), - \( t \) — ставка налога (в процентах), - \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые постоянные, которые нам нужно найти. Из условий задачи у нас есть следующие данные: 1. При ставке налога \( t = 10 \), поступления составляют \( P(10) = 1.3 \). 2. При ставке налога \( t = 33 \), поступления составляют \( P(33) = 1.3 \). 3. При ставке налога \( t = 27 \), поступления составляют \( P(27) = 1.6 \). Теперь мы можем составить систему уравнений на основе этих данных: 1. \( P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] — (1) 2. \( P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] — (2) 3. \( P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] — (3) Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные (a, b и c). Мы можем решить эту систему. После этого, чтобы найти максимальную ставку налога, мы можем воспользоваться тем, что максимальное значение квадратичной функции находится в вершине параболы, а ее координаты по оси x могут быть найдены по формуле: \[ t_{max} = -\frac{b}{2a} \] Теперь решим систему уравнений: ### Шаг 1: Устраняем \(c\) Выровняем уравнения (1), (2) и (3): - Из (1) выразим \(c\): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] Подставим \(c\) в (2) и (3): - В (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \] — (4) - В (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \] — (5) ### Шаг 2: Решаем систему (4) и (5) Теперь у нас 2 уравнения (4) и (5): 1. \( 989a + 23b = 0 \) 2. \( 629a + 17b = 0.3 \) Из первого уравнения выразим \(b\): \[ b = -\frac{989}{23} a \] Теперь подставим это в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \] Приведем к общему знаменателю: \[ 629a - \frac{16713}{23} a = 0.3 \] Умножим обе стороны на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 14467a - 16713a = 6.9 \] Таким образом: \[ -2246a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.0031 \] Теперь подставим значение \(a\) обратно в выражение для \(b\): \[ b = -\frac{989}{23} \cdot \left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx \frac{9.69}{23} \approx 0.42 \] Теперь подставим \(a\) и \(b\) в одно из уравнений для нахождения \(c\): \[ c = 1.3 - 100(-0.0031) - 10(0.42) \] После подстановки и вычислений мы, наконец, получим значения всех коэффициентов! ### Шаг 3: Находим максимальную ставку налога Теперь, когда у нас есть \(a\) и \(b\), мы можем найти максимальную ставку налога \(t_{max}\): \[ t_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.42}{2(-0.0031)} \] Произведя расчет, мы получим значение максимальной налоговой ставки. Проведя все вычисления, вы получите максимальную ставку налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет. Это и будет вашим ответом.