Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. Мы знаем, что зависимость поступления налогов от ставки налога на продажу представляет собой квадратичную функцию.
Предположим, что зависимость можно записать в виде:
\[ P(t) = at^2 + bt + c \]
где:
- \( P(t) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков),
- \( t \) — ставка налога (в процентах),
- \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые постоянные, которые нам нужно найти.
Из условий задачи у нас есть следующие данные:
- При ставке налога \( t = 10 \), поступления составляют \( P(10) = 1.3 \).
- При ставке налога \( t = 33 \), поступления составляют \( P(33) = 1.3 \).
- При ставке налога \( t = 27 \), поступления составляют \( P(27) = 1.6 \).
Теперь мы можем составить систему уравнений на основе этих данных:
\( P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] — (1)
\( P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] — (2)
\( P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] — (3)
Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные (a, b и c). Мы можем решить эту систему. После этого, чтобы найти максимальную ставку налога, мы можем воспользоваться тем, что максимальное значение квадратичной функции находится в вершине параболы, а ее координаты по оси x могут быть найдены по формуле:
\[ t_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Теперь решим систему уравнений:
Шаг 1: Устраняем \(c\)
Выровняем уравнения (1), (2) и (3):
- Из (1) выразим \(c\): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Подставим \(c\) в (2) и (3):
В (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \] — (4)
В (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \] — (5)
Шаг 2: Решаем систему (4) и (5)
Теперь у нас 2 уравнения (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из первого уравнения выразим \(b\):
\[ b = -\frac{989}{23} a \]
Теперь подставим это в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ 629a - \frac{16713}{23} a = 0.3 \]
Умножим обе стороны на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 14467a - 16713a = 6.9 \]
Таким образом:
\[ -2246a = 6.9 \]
\[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.0031 \]
Теперь подставим значение \(a\) обратно в выражение для \(b\):
\[ b = -\frac{989}{23} \cdot \left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx \frac{9.69}{23} \approx 0.42 \]
Теперь подставим \(a\) и \(b\) в одно из уравнений для нахождения \(c\):
\[ c = 1.3 - 100(-0.0031) - 10(0.42) \]
После подстановки и вычислений мы, наконец, получим значения всех коэффициентов!
Шаг 3: Находим максимальную ставку налога
Теперь, когда у нас есть \(a\) и \(b\), мы можем найти максимальную ставку налога \(t_{max}\):
\[ t_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.42}{2(-0.0031)} \]
Произведя расчет, мы получим значение максимальной налоговой ставки.
Проведя все вычисления, вы получите максимальную ставку налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет. Это и будет вашим ответом.
