Стрелок стреляет по 12 мишеням. В каждую по одному выстрелу . сколько существует вариантов того, что он попадет ровно 3 раза

Чтобы решить задачу, используем концепцию комбинаторики, а именно формулу для расчета количества способов выбрать определенное количество успехов (попаданий) из общего числа попыток (выстрелов).

Шаг 1: Определение условий задачи

1. У нас есть 12 мишеней, по которым стрелок производит 1 выстрел в каждую.
2. Соответственно, у нас 12 выстрелов.
3. Необходимо найти количество способов, которыми стрелок может попасть ровно 3 раза.

Шаг 2: Применение формулы комбинаторики

Для решения задачи используем формулу выбора:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \),
• \( n \) — общее количество выстрелов (в нашем случае 12),
• \( k \) — количество попаданий (в нашем случае 3),
• \( n! \) — факториал числа \( n \).

Шаг 3: Подставляем значения

В нашем случае:

• \( n = 12 \)
• \( k = 3 \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Рассмотрим факториалы:

• \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! \), поэтому мы можем упростить дробь: \[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3! \cdot 9!} \] Теперь \( 9! \) сокращается.

У нас остается: \[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} \]

Теперь вычислим \( 3! \): \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Шаг 5: Прокладываем финальные вычисления

Теперь подставляем обратно: \[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \]

Выражение можно упростить: \[ 12 \times 11 \times 10 = 1320 \] Теперь делим на 6: \[ C(12, 3) = \frac{1320}{6} = 220 \]

Ответ

Существует 220 вариантов того, что стрелок попадает ровно 3 раза по 12 мишеням.