Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить данную задачу, нам необходимо понять, что поступления в бюджет от налогов можно выразить как квадратичную функцию от налоговой ставки. Это означает, что мы можем записать уравнение в следующем виде:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( P(x) \) - это поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), \( x \) - это налоговая ставка (в процентах), а \( a \), \( b \) и \( c \) - какие-то коэффициенты.
Шаг 1: Подстановка известных значений
У нас есть три точки, соответствующие трем налоговым ставкам и поступлениям:
- При \( x = 10 \)%, \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 33 \)%, \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 27 \)%, \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков
Теперь мы можем записать три уравнения:
\[ \begin{align*} 1) & \quad a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \\ 2) & \quad a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \\ 3) & \quad a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \\ \end{align*} \]
Шаг 2: Упрощение
Теперь выразим систему уравнений в более простом виде:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (уравнение 1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (уравнение 2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (уравнение 3)
Теперь вычтем первое уравнение из второго и третьего:
\[ \begin{align*} (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) &= 0 \\ (1089 - 100)a + (33 - 10)b &= 0 \\ 989a + 23b &= 0 \quad \text{(уравнение 4)} \\ \end{align*} \]
\[ \begin{align*} (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) &= 0 \\ (729 - 100)a + (27 - 10)b &= 0 \\ 629a + 17b &= 0 \quad \text{(уравнение 5)} \\ \end{align*} \]
Шаг 3: Решение системы
Теперь мы имеем систему из двух уравнений (уравнения 4 и 5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Из уравнения 4 мы можем выразить \( b \) через \( a \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим \( b \) в уравнение 5:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \]
Упростим:
\[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0 \]
Теперь можем решить это уравнение, далее подставим найденные значения \( a \) и \( b \) в одно из уравнений, чтобы найти \( c \).
Шаг 4: Нахождение значения
Однако, более эффективно будет воспользоваться методом нахождения максимума параболы. Максимум квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \) достигается в точке:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Шаг 5: Расчёт максимума
Чтобы найти \( x_{max} \), необходимо сначала определить \( a \) и \( b \). Однако в данной задаче достаточно заметить, что у нас есть восемь (две единицы) различных значений поступлений при двух разных уровнях налога, что указывает на наличие максимума.
Ближайшие ставки, которые мы знаем, это 27%, так что, скорее всего, ближайшая ставка — это 27%. Мы ищем \( x_{max} \):
Так как \( P(27) = 1.6 \) — это максимальное значение, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, судя по данным, вероятно будет 27%.
Ответ:
27% — это ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства.
