На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим исходное число как \( N \), которое является четырёхзначным числом, то есть \( 1000 \leq N < 10000 \).

1. Определение суммы цифр: Обозначим сумму цифр числа \( N \) как \( S(N) \).

2. Вычитание суммы цифр: После того, как Вова вычел сумму цифр из \( N \), мы получаем новое число: \[ M = N - S(N) \] Где \( M \) — это новое число, записанное Вовой.

3. Понимание удаления цифры: Ира стерла одну цифру из числа \( M \), и на доске осталось число 528. Значит, \( M \) может быть получено добавлением одной из цифр к 528.

4. Определение всех возможных значений \( M \): Рассмотрим цифры, которые могли быть стерты из \( M \) и получим, какие значения \( M \) могут быть:

   • Если стерта цифра 0: \( 528 \rightarrow 0528 \) (это не подходит, так как это трехзначное число)
   • Если стерта цифра 1: \( 528 \rightarrow 1528 \)
   • Если стерта цифра 2: \( 528 \rightarrow 2528 \)
   • Если стерта цифра 3: \( 528 \rightarrow 3528 \)
   • Если стерта цифра 4: \( 528 \rightarrow 4528 \)
   • Если стерта цифра 5: \( 528 \rightarrow 5528 \)
   • Если стерта цифра 6: \( 528 \rightarrow 6528 \)
   • Если стерта цифра 7: \( 528 \rightarrow 7528 \)
   • Если стерта цифра 8: \( 528 \rightarrow 8528 \)
   • Если стерта цифра 9: \( 528 \rightarrow 9528 \)

Таким образом, возможные значения \( M \) - это: 1528, 2528, 3528, 4528, 5528, 6528, 7528, 8528, 9528.

5. Поиск \( N \): Теперь нам нужно провести обратный процесс, чтобы найти исходное число \( N \): \[ N = M + S(N) \]

   Поскольку \( S(N) \) - это сумма цифр числа \( N \), она может принимать значения от 1 до 36 (для четырёхзначного числа).

6. Проверка чисел: \[ N = 1528 + S(1528) = 1528 + (1+5+2+8) = 1528 + 16 = 1544 \] \[ N = 2528 + S(2528) = 2528 + (2+5+2+8) = 2528 + 17 = 2545 \] \[ N = 3528 + S(3528) = 3528 + (3+5+2+8) = 3528 + 18 = 3546 \] \[ N = 4528 + S(4528) = 4528 + (4+5+2+8) = 4528 + 19 = 4547 \] \[ N = 5528 + S(5528) = 5528 + (5+5+2+8) = 5528 + 20 = 5548 \] \[ N = 6528 + S(6528) = 6528 + (6+5+2+8) = 6528 + 21 = 6549 \] \[ N = 7528 + S(7528) = 7528 + (7+5+2+8) = 7528 + 22 = 7540 \] \[ N = 8528 + S(8528) = 8528 + (8+5+2+8) = 8528 + 23 = 8551 \] \[ N = 9528 + S(9528) = 9528 + (9+5+2+8) = 9528 + 24 = 9552 \]

7. Определение цифры, которую стерли Ира: Проверяем, что все полученные \( N \) находятся в пределах четырёхзначных чисел … и в итоге, обнаруживаем, что у нас есть смещение значений от 1528 до 9528.

Итак, через проверку:

• Сначала было \( N = 6528 \) → \( M = 6528 - 21 = 7507 \) (сумма 21).
• Стерли 2 и осталось 528. Таким образом, Ира стерла цифру 2.

На этом основании, цифра, которую стерла Ира – это 2.