На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число
528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?
Чтобы решить задачу, давайте обозначим исходное число как \( N \), которое является четырёхзначным числом, то есть \( 1000 \leq N < 10000 \).
1. **Определение суммы цифр**:
Обозначим сумму цифр числа \( N \) как \( S(N) \).
2. **Вычитание суммы цифр**:
После того, как Вова вычел сумму цифр из \( N \), мы получаем новое число:
\[
M = N - S(N)
\]
Где \( M \) — это новое число, записанное Вовой.
3. **Понимание удаления цифры**:
Ира стерла одну цифру из числа \( M \), и на доске осталось число 528. Значит, \( M \) может быть получено добавлением одной из цифр к 528.
4. **Определение всех возможных значений \( M \)**:
Рассмотрим цифры, которые могли быть стерты из \( M \) и получим, какие значения \( M \) могут быть:
- Если стерта цифра 0: \( 528 \rightarrow 0528 \) (это не подходит, так как это трехзначное число)
- Если стерта цифра 1: \( 528 \rightarrow 1528 \)
- Если стерта цифра 2: \( 528 \rightarrow 2528 \)
- Если стерта цифра 3: \( 528 \rightarrow 3528 \)
- Если стерта цифра 4: \( 528 \rightarrow 4528 \)
- Если стерта цифра 5: \( 528 \rightarrow 5528 \)
- Если стерта цифра 6: \( 528 \rightarrow 6528 \)
- Если стерта цифра 7: \( 528 \rightarrow 7528 \)
- Если стерта цифра 8: \( 528 \rightarrow 8528 \)
- Если стерта цифра 9: \( 528 \rightarrow 9528 \)
Таким образом, возможные значения \( M \) - это: 1528, 2528, 3528, 4528, 5528, 6528, 7528, 8528, 9528.
5. **Поиск \( N \)**:
Теперь нам нужно провести обратный процесс, чтобы найти исходное число \( N \):
\[
N = M + S(N)
\]
Поскольку \( S(N) \) - это сумма цифр числа \( N \), она может принимать значения от 1 до 36 (для четырёхзначного числа).
6. **Проверка чисел**:
\[
N = 1528 + S(1528) = 1528 + (1+5+2+8) = 1528 + 16 = 1544
\]
\[
N = 2528 + S(2528) = 2528 + (2+5+2+8) = 2528 + 17 = 2545
\]
\[
N = 3528 + S(3528) = 3528 + (3+5+2+8) = 3528 + 18 = 3546
\]
\[
N = 4528 + S(4528) = 4528 + (4+5+2+8) = 4528 + 19 = 4547
\]
\[
N = 5528 + S(5528) = 5528 + (5+5+2+8) = 5528 + 20 = 5548
\]
\[
N = 6528 + S(6528) = 6528 + (6+5+2+8) = 6528 + 21 = 6549
\]
\[
N = 7528 + S(7528) = 7528 + (7+5+2+8) = 7528 + 22 = 7540
\]
\[
N = 8528 + S(8528) = 8528 + (8+5+2+8) = 8528 + 23 = 8551
\]
\[
N = 9528 + S(9528) = 9528 + (9+5+2+8) = 9528 + 24 = 9552
\]
7. **Определение цифры, которую стерли Ира**:
Проверяем, что все полученные \( N \) находятся в пределах четырёхзначных чисел … и в итоге, обнаруживаем, что у нас есть смещение значений от 1528 до 9528.
Итак, через проверку:
- Сначала было \( N = 6528 \) → \( M = 6528 - 21 = 7507 \) (сумма 21).
- Стерли 2 и осталось 528. Таким образом, Ира стерла цифру 2.
На этом основании, цифра, которую стерла Ира – это **2**.
