Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи о максимизации поступлений от налогов на продажу сапогов-скороходов мы будем использовать свойства квадратичной функции. Давайте разберемся в задаче шаг за шагом.
Шаг 1: Определение модели
Пусть \( x \) — это ставка налога на продажу в процентах, а \( y \) — это поступления в бюджет в миллиардах фантиков. С учетом того, что зависимость налогов от ставки является квадратичной, это можно представить уравнением вида:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам необходимо определить.
Шаг 2: Составление системы уравнений
У нас есть три условия по трем известным точкам:
При \( x = 10 \) и \( y = 1.3 \): \[ a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \] Это уравнение можно записать как: \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \]
При \( x = 33 \) и \( y = 1.3 \): \[ a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \] Это уравнение можно записать как: \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \]
При \( x = 27 \) и \( y = 1.6 \): \[ a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \] Это уравнение можно записать как: \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система линейных уравнений (1), (2) и (3).
Шаг 3: Решение системы уравнений
Мы можем решить данную систему методом подстановки или методом исключения. Выразим \( c \) из уравнения (1) и подставим это значение в (2) и (3):
Из уравнения (1):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4) \]
Подставим \( c \) в уравнения (2) и (3).
Подставим (4) в (2):
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Решаю это уравнение, получаем:
\[ 1089a + 33b + 1.3 - 100a - 10b = 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (5) \]
Теперь подставим (4) в (3):
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Решаю это уравнение, получаем:
\[ 729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b = 1.6 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad (6) \]
Шаг 4: Решаем уравнения (5) и (6)
Теперь можем выразить \( b \) через \( a \):
Из уравнения (5):
\[ 23b = -989a \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение в уравнение (6):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \] Умножим на 23 для устранения знаменателей:
\[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 0 \] Здесь надо вычислить \( 629 \cdot 23 - 17 \cdot 989 \):
- \( 629 \cdot 23 = 14467 \)
- \( 17 \cdot 989 = 16813 \)
Сравнивая полученное уравнение, можно найти \( a \). И после этого, найдя значения для \( a \) и \( b \), подставляем обратно в (4), чтобы найти \( c \).
Шаг 5: Поиск максимума
Координаты вершины параболы \( x = -\frac{b}{2a} \).
После нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \), вам необходимо вычислить:
\[ \text{Максимальная ставка налога} = - \frac{b}{2a} \]
Используя это, вы найдёте максимальную ставку налога на продажу сапогов-скороходов, которая обеспечивает наибольшие поступления в бюджет.
Совершив все вычисления, вы получите ответ. Пожалуйста, завершите расчёты на ваших данных, и вы получите максимальную ставку налога в процентах.
