В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, высота CD, проведенная к гипотенузе АВ, делит её на отрезки AD и DB. Найдите отношение AD к DB, если известно, что катет АС в два раза больше катета ВС.

Для решения задачи о нахождении отношения отрезков AD и DB через высоту CD в прямоугольном треугольнике АВС, где катет АС в два раза больше катета ВС, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о высоте. 1. **Обозначим величины катетов:** - Пусть катет \( BC = x \). - Следовательно, катет \( AC = 2x \) (из условия задачи). 2. **По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:** \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{4x^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}. \] 3. **Обозначим длины отрезков AD и DB:** - Пусть \( AD = m \) и \( DB = n \). Тогда \( AB = AD + DB = m + n \). 4. **Применим теорему о высоте в прямоугольном треугольнике:** В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, длины которых находятся в том же отношении, что и квадраты соответствующих катетов. Это означает: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{x^2}{(2x)^2} = \frac{x^2}{4x^2} = \frac{1}{4}. \] 5. **Записываем отношение отрезков:** Таким образом, мы имеем: \[ AD : DB = 1 : 4. \] 6. **Запись ответа:** Отношение отрезков \( AD \) к \( DB \) равно \( 1 : 4 \). Таким образом, для данной задачи промышляем всё наглядно и на основе теоремы о высоте в прямоугольном треугольнике, пришли к выводу, что отношение \( AD \) к \( DB \) равно \( 1 : 4 \).