В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, высота CD, проведенная к гипотенузе АВ, делит её на отрезки AD и DB. Найдите отношение AD к DB, если известно, что катет АС в…

Для решения задачи о нахождении отношения отрезков AD и DB через высоту CD в прямоугольном треугольнике АВС, где катет АС в два раза больше катета ВС, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о высоте.

1. Обозначим величины катетов:

   • Пусть катет \( BC = x \).
   • Следовательно, катет \( AC = 2x \) (из условия задачи).

2. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{4x^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}. \]

3. Обозначим длины отрезков AD и DB:

   • Пусть \( AD = m \) и \( DB = n \). Тогда \( AB = AD + DB = m + n \).

4. Применим теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, длины которых находятся в том же отношении, что и квадраты соответствующих катетов.

   Это означает: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{x^2}{(2x)^2} = \frac{x^2}{4x^2} = \frac{1}{4}. \]

5. Записываем отношение отрезков: Таким образом, мы имеем: \[ AD : DB = 1 : 4. \]

6. Запись ответа: Отношение отрезков \( AD \) к \( DB \) равно \( 1 : 4 \).

Таким образом, для данной задачи промышляем всё наглядно и на основе теоремы о высоте в прямоугольном треугольнике, пришли к выводу, что отношение \( AD \) к \( DB \) равно \( 1 : 4 \).