y²/y-7+y-12/y-7=0
Давайте решим уравнение, указанное в задаче:
\[ \frac{y^2}{y-7} + \frac{y-12}{y-7} = 0 \]
Шаг 1: Объединим дроби
Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель \(y - 7\), мы можем объединить их в одну дробь:
\[ \frac{y^2 + (y - 12)}{y - 7} = 0 \]
Шаг 2: Упростим числитель
Теперь упростим числитель:
\[ y^2 + (y - 12) = y^2 + y - 12 \]
Таким образом, уравнение теперь выглядит следующим образом:
\[ \frac{y^2 + y - 12}{y - 7} = 0 \]
Шаг 3: Условие для равенства нулю
Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю (знаменатель не должен равняться нулю). То есть:
\[ y^2 + y - 12 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 + y - 12 = 0\). Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -12\). Подставляем значения в формулу:
- Вычислим \(b^2 - 4ac\):
\[ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
- Подставим все в формулу:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]
Шаг 5: Найдем корни
Теперь найдем два корня:
- Первый корень:
\[ y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
- Второй корень:
\[ y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Шаг 6: Проверка знаменателя
Теперь нам нужно убедиться, что найденные корни не делают знаменатель равным нулю. Знаменатель:
\[ y - 7 \neq 0 \implies y \neq 7 \]
Оба корня (3 и -4) не равны 7, значит, они допустимы.
Ответ
Таким образом, решения уравнения:
\[ y = 3 \quad \text{и} \quad y = -4 \]
Эти значения подходят для решения данного уравнения.
