адание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Адание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи нам нужно установить зависимость между ставкой налога \( x \) и поступлениями в бюджет \( P(x) \). Поскольку у нас есть информация, что зависимость является квадратичной, предположим, что функция выглядит следующим образом:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам нужно определить.
Исходя из условия задачи, у нас есть три точки c поступления:
- При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков.
Теперь запишем систему уравнений на основе этих данных:
- \( P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
- \( P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
- \( P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
Теперь у нас есть три уравнения:
\( 100a + 10b + c = 1.3 \) \hspace{2cm} (1)
\( 1089a + 33b + c = 1.3 \) \hspace{2cm} (2)
\( 729a + 27b + c = 1.6 \) \hspace{2cm} (3)
Теперь вычтем первое уравнение из второго и третьего:
Из (2) - (1): \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \hspace{2cm} (4) \]
Из (3) - (1): \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \hspace{2cm} (5) \]
Теперь выразим \( b \) через \( a \) из уравнения (4):
\[ 23b = -989a \implies b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим это значение \( b \) в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0.3 \] Чтобы избавиться от дробей, умножим всё на 23:
\[ 14567a - 16713a = 6.9 \] \[ -2146a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2146} \approx -0.003215 \]
Теперь подставим значение \( a \) для получения \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} \cdot \left(-\frac{6.9}{2146}\right) \approx 0.2112 \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) обратно в одно из уравнений, например, (1) для определения \( c \):
\[ 100\left(-0.003215\right) + 10(0.2112) + c = 1.3 \] \[ -0.3215 + 2.112 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.7905 = 0.5095 \]
Теперь у нас есть коэффициенты:
\[ a \approx -0.003215, \quad b \approx 0.2112, \quad c \approx 0.5095 \]
Теперь, чтобы найти максимальную прибыль, мы используем формулу для нахождения координаты вершины параболы, которая выглядит как:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения \( a \) и \( b \):
\[ x_{max} = -\frac{0.2112}{2 \times -0.003215} \approx 32.9\% \]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 32.9%.
