Для серии значений объёма титранта 8,23;8, 26; 8,24;8, 27 мл, рассчитать среднее и доверительный интервал среднего при Р=0, 95

Для решения данной задачи мы вычислим среднее значение объёма титранта и доверительный интервал среднего при уровне значимости \( P = 0.95 \).

Шаг 1: Вычисление среднего значения

Сначала найдем среднее значение (арифметическую среднюю) для данных значений: \( 8.23 \, мл, 8.26 \, мл, 8.24 \, мл, 8.27 \, мл \).

Формула для вычисления среднего значения:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n} \]

где \( x_i \) — значения, а \( n \) — количество значений.

Подставим наши данные:

\[ \bar{x} = \frac{8.23 + 8.26 + 8.24 + 8.27}{4} \]

Теперь выполним сложение:

\[ 8.23 + 8.26 + 8.24 + 8.27 = 33.00 \]

Теперь делим на количество значений (4):

\[ \bar{x} = \frac{33.00}{4} = 8.25 \, мл \]

Шаг 2: Вычисление стандартного отклонения

Следующий шаг — вычисление стандартного отклонения (\( s \)), которое поможет в поиске доверительного интервала.

Формула для стандартного отклонения:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \]

Сначала найдем отклонения каждого значения от среднего:

\[ (8.23 - 8.25)^2 = (-0.02)^2 = 0.0004 \] \[ (8.26 - 8.25)^2 = (0.01)^2 = 0.0001 \] \[ (8.24 - 8.25)^2 = (-0.01)^2 = 0.0001 \] \[ (8.27 - 8.25)^2 = (0.02)^2 = 0.0004 \]

Теперь сложим эти значения:

\[ 0.0004 + 0.0001 + 0.0001 + 0.0004 = 0.0010 \]

Теперь подставим в формулу для стандартного отклонения:

\[ s = \sqrt{\frac{0.0010}{4 - 1}} = \sqrt{\frac{0.0010}{3}} \approx \sqrt{0.0003333} \approx 0.01825 \, мл \]

Шаг 3: Доверительный интервал

Теперь найдём доверительный интервал для среднего при уровне доверия \( P = 0.95 \). Для этого используем \( t \)-распределение. Поскольку имеем 4 измерения, у нас всего \( n - 1 = 3 \) степеней свободы.

Критическое значение \( t \) можно найти в таблице \( t \)-распределения. Для \( P = 0.95 \) и \( 3 \) степеней свободы это значение приблизительно равно \( 3.182 \).

Доверительный интервал (ДИ) рассчитывается по формуле:

\[ \text{ДИ} = \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Подставляем значения:

\[ \text{ДИ} = 8.25 \pm 3.182 \cdot \frac{0.01825}{\sqrt{4}} \]

Вычислим:

\[ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.01825}{2} \approx 0.009125 \] \[ 3.182 \cdot 0.009125 \approx 0.02897 \]

Теперь находим пределы доверительного интервала:

\[ \text{Нижняя граница} = 8.25 - 0.02897 \approx 8.221 \] \[ \text{Верхняя граница} = 8.25 + 0.02897 \approx 8.279 \]

Итог

Таким образом, среднее значение объёма титранта равно \( 8.25 \, мл \), а доверительный интервал для среднего с уровнем доверия \( P = 0.95 \) составляет приблизительно \( (8.221, 8.279) \, мл \).