Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. От пристани на пирсе рыбхозяйства…
Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. От пристани на пирсе рыбхозяйства отправился в путь плот. Через 2 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернулась к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 20 км. Найди собственную скорость лодки, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч.
Для решения этой задачи начнем с обозначений:
- \( v \) — собственная скорость моторной лодки (км/ч).
- Скорость течения реки равна 5 км/ч.
- Плот отправился в путь на 2 часа раньше лодки.
- Расстояние между пристанями — 24 км.
- Плот прошел 20 км к моменту возвращения лодки.
Шаг 1: Определим время, за которое плот прошел 20 км
Плот движется со скоростью, которая равна скорости течения реки. Поскольку он движется по течению, его скорость будет равна:
\[ v_{плота} = 5 \text{ км/ч} \]
Чтобы узнать, сколько времени плот двигался, используем формулу:
\[ t = \frac{s}{v} \]
где \( s \) — путь (20 км), а \( v \) — скорость (5 км/ч). Подставим значения:
\[ t_{плота} = \frac{20 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч} \]
Шаг 2: Определим, сколько времени провела лодка в пути
Лодка отправилась через 2 часа после плота, и пока лодка возвращалась, плот двигался 4 часа. Поэтому лодка была в пути:
\[ t_{лодки} = 4 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 2 \text{ ч} \]
Шаг 3: Определим, какое расстояние прошла лодка
Лодка двигалась до второй пристани и вернулась обратно. Она преодолела расстояние в 24 км туда и 24 км обратно:
\[ s_{лодки} = 24 \text{ км} + 24 \text{ км} = 48 \text{ км} \]
Шаг 4: Определим скорость лодки с учетом течения
Так как лодка двигалась по течению на расстояние 24 км и против течения на 24 км, можно рассчитать общую скорость лодки.
Обозначим скорость лодки относительно воды как \( v \). Тогда:
- По течению: \( v + 5 \text{ км/ч} \)
- Против течения: \( v - 5 \text{ км/ч} \)
Шаг 5: Установим уравнение
Время в пути для каждого участка пути лодки:
\[ t_{по течению} + t_{против течения} = t_{лодки} \]
Таким образом, получаем:
\[ \frac{24}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 2 \]
Шаг 6: Умножим на общий знаменатель
Общий знаменатель \( (v + 5)(v - 5) \):
\[ 24(v - 5) + 24(v + 5) = 2(v^2 - 25) \]
Раскрываем скобки:
\[ 24v - 120 + 24v + 120 = 2v^2 - 50 \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 48v = 2v^2 - 50 \]
Шаг 7: Перепишем уравнение
\[ 2v^2 - 48v - 50 = 0 \]
Шаг 8: Упростим уравнение
Разделим на 2:
\[ v^2 - 24v - 25 = 0 \]
Шаг 9: Найдем дискриминант
Формула для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -24, c = -25 \):
\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]
Шаг 10: Найдем корни уравнения
Корни уравнения:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 26}{2} \]
Таким образом:
- \( v_1 = \frac{50}{2} = 25 \text{ км/ч} \)
- \( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \text{ (неразумная скорость)} \)
Собственная скорость лодки:
\[ \boxed{25 \text{ км/ч}} \]
Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет 25 км/ч.
