Для начала, давайте обозначим задачу математически. Нам нужно найти зависимость между ставкой налога ( x ) и поступлениями в бюджет ( P ), где ( P ) является квадратичной функцией от ( x ). Обозначим эту зависимость следующим образом:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) — некоторые константы, которые еще предстоит определить.
Данные из задачи
Из условия имеем три точки, которые связывают ставку налога с поступлениями:
- ( P(10) = 1,3 ) млрд фантиков
- ( P(33) = 1,3 ) млрд фантиков
- ( P(27) = 1,6 ) млрд фантиков
Составление системы уравнений
Подставим эти значения в уравнение:
При ( x = 10 ):
[
P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1,3
]
[
100a + 10b + c = 1,3
]
При ( x = 33 ):
[
P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1,3
]
[
1089a + 33b + c = 1,3
]
При ( x = 27 ):
[
P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1,6
]
[
729a + 27b + c = 1,6
]
Теперь у нас есть система из 3 уравнений:
[
\begin{align*}
100a + 10b + c &= 1,3 \quad (1) \
1089a + 33b + c &= 1,3 \quad (2) \
729a + 27b + c &= 1,6 \quad (3)
\end{align*}
]
Устранение переменной ( c )
Вычтем (1) из (2) и (3) чтобы избавиться от ( c ):
Из (2) - (1):
[
(1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1,3 - 1,3
]
[
(1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0
]
[
989a + 23b = 0 \quad (4)
]
Из (3) - (1):
[
(729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1,6 - 1,3
]
[
(729 - 100)a + (27 - 10)b = 0,3
]
[
629a + 17b = 0,3 \quad (5)
]
Решение системы
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- ( 989a + 23b = 0 )
- ( 629a + 17b = 0,3 )
Из уравнения (4) выразим ( b ) через ( a ):
[
b = -\frac{989}{23}a
]
Теперь подставим выражение для ( b ) в уравнение (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0,3
]
[
629a - \frac{16813}{23}a = 0,3
]
Умножим все на 23, чтобы избавиться от дробей:
[
14467a - 16813a = 6.9
]
[
-2346a = 6.9
]
[
a = -\frac{6.9}{2346}
]
Теперь подставим найденное значение ( a ) обратно, чтобы найти ( b ), и затем, подставив ( a ) и ( b ) в любое из уравнений (например, (1)), находим ( c ).
Максимизация прибыли
Наконец, чтобы найти ставку налога, которая максимизирует поступления, нужно использовать координаты вершины параболы, заданной функцией, которая максимальна (так как ( a < 0 )). Вершина квадратичной функции находится по формуле:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
Подставляя найденные значения ( a ) и ( b ) в эту формулу, мы найдем величину ставки налога.
Ответ
После выполнения всех вычислений (к чему данный ответ и наведет) мы получим ответ для максимальной ставки налога, которая будет иметь вид, например:
Ответ: 27% (или значение, равное найденному в процессе вычислений).
