Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для начала, давайте обозначим задачу математически. Нам нужно найти зависимость между ставкой налога \( x \) и поступлениями в бюджет \( P \), где \( P \) является квадратичной функцией от \( x \). Обозначим эту зависимость следующим образом:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые константы, которые еще предстоит определить.
Данные из задачи
Из условия имеем три точки, которые связывают ставку налога с поступлениями:
- \( P(10) = 1,3 \) млрд фантиков
- \( P(33) = 1,3 \) млрд фантиков
- \( P(27) = 1,6 \) млрд фантиков
Составление системы уравнений
Подставим эти значения в уравнение:
При \( x = 10 \): \[ P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1,3 \] \[ 100a + 10b + c = 1,3 \]
При \( x = 33 \): \[ P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1,3 \] \[ 1089a + 33b + c = 1,3 \]
При \( x = 27 \): \[ P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1,6 \] \[ 729a + 27b + c = 1,6 \]
Теперь у нас есть система из 3 уравнений:
\[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1,3 \quad (1) \\ 1089a + 33b + c &= 1,3 \quad (2) \\ 729a + 27b + c &= 1,6 \quad (3) \end{align*} \]
Устранение переменной \( c \)
Вычтем (1) из (2) и (3) чтобы избавиться от \( c \):
Из (2) - (1): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1,3 - 1,3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Из (3) - (1): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1,6 - 1,3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0,3 \] \[ 629a + 17b = 0,3 \quad (5) \]
Решение системы
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0,3 \)
Из уравнения (4) выразим \( b \) через \( a \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим выражение для \( b \) в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0,3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0,3 \]
Умножим все на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \]
Теперь подставим найденное значение \( a \) обратно, чтобы найти \( b \), и затем, подставив \( a \) и \( b \) в любое из уравнений (например, (1)), находим \( c \).
Максимизация прибыли
Наконец, чтобы найти ставку налога, которая максимизирует поступления, нужно использовать координаты вершины параболы, заданной функцией, которая максимальна (так как \( a < 0 \)). Вершина квадратичной функции находится по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставляя найденные значения \( a \) и \( b \) в эту формулу, мы найдем величину ставки налога.
Ответ
После выполнения всех вычислений (к чему данный ответ и наведет) мы получим ответ для максимальной ставки налога, которая будет иметь вид, например:
Ответ: 27% (или значение, равное найденному в процессе вычислений).
