В многоквартирном доме всего 385 квартир. Во всех подъездах количество квартир одинаковые. Сколько подъездов в доме, если известно, что в каждом из них больше 50, но меньше 70…

Для решения задачи нам нужно определить, сколько подъездов в многоквартирном доме, используя условия, что количество квартир в каждом подъезде одинаковое и находится в диапазоне от 51 до 69 квартир. Вот шаги, которые мы будем следовать:

1. Обозначим переменные: Пусть \( n \) — количество подъездов, а \( k \) — количество квартир в каждом подъезде.

2. Условие задачи: Общее количество квартир в доме составляет 385, значит, мы можем записать уравнение: \[ n \cdot k = 385 \] где \( k \) должно быть в пределах 51 < \( k \) < 70.

3. Найдём возможные значения \( k \): Поскольку \( k \) целое число, допустимые значения \( k \) будут 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69.

4. Проверим, какие из этих значений \( k \) приводят к целочисленному \( n \):

   • \( k = 52 \): \( n = \frac{385}{52} \approx 7.40 \) (не подходит)
   • \( k = 53 \): \( n = \frac{385}{53} \approx 7.27 \) (не подходит)
   • \( k = 54 \): \( n = \frac{385}{54} \approx 7.13 \) (не подходит)
   • \( k = 55 \): \( n = \frac{385}{55} = 7 \) (подходит)
   • \( k = 56 \): \( n = \frac{385}{56} \approx 6.88 \) (не подходит)
   • \( k = 57 \): \( n = \frac{385}{57} \approx 6.75 \) (не подходит)
   • \( k = 58 \): \( n = \frac{385}{58} \approx 6.64 \) (не подходит)
   • \( k = 59 \): \( n = \frac{385}{59} \approx 6.52 \) (не подходит)
   • \( k = 60 \): \( n = \frac{385}{60} \approx 6.42 \) (не подходит)
   • \( k = 61 \): \( n = \frac{385}{61} \approx 6.31 \) (не подходит)
   • \( k = 62 \): \( n = \frac{385}{62} \approx 6.21 \) (не подходит)
   • \( k = 63 \): \( n = \frac{385}{63} \approx 6.10 \) (не подходит)
   • \( k = 64 \): \( n = \frac{385}{64} \approx 6.02 \) (не подходит)
   • \( k = 65 \): \( n = \frac{385}{65} \approx 5.92 \) (не подходит)
   • \( k = 66 \): \( n = \frac{385}{66} \approx 5.83 \) (не подходит)
   • \( k = 67 \): \( n = \frac{385}{67} \approx 5.73 \) (не подходит)
   • \( k = 68 \): \( n = \frac{385}{68} \approx 5.66 \) (не подходит)
   • \( k = 69 \): \( n = \frac{385}{69} \approx 5.57 \) (не подходит)

5. Решение: Из всех возможных значений только \( k = 55 \) даёт целое число для \( n \). При этом: \[ n = 7 \] Таким образом, в доме 7 подъездов.

Ответ: В доме 7 подъездов.