Чтобы найти значение ( \cos a ), когда дано ( \sin a = \frac{4}{5} ) и ( a ) находится в интервале ( \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) ), воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Шаг 1: Найдем ( \cos^2 a )
Подставим значение ( \sin a ) в это уравнение:
[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1
]
Шаг 2: Вычислим ( \sin^2 a )
Сначала найдем ( \left(\frac{4}{5}\right)^2 ):
[
\sin^2 a = \frac{16}{25}
]
Шаг 3: Получим уравнение для ( \cos^2 a )
Теперь подставим это значение обратно в основное тригонометрическое уравнение:
[
\frac{16}{25} + \cos^2 a = 1
]
Шаг 4: Решим уравнение для ( \cos^2 a )
Вычтем ( \frac{16}{25} ) из обоих сторон:
[
\cos^2 a = 1 - \frac{16}{25}
]
Для этого преобразуем 1 в дробь с тем же знаменателем:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Итак,
[
\cos^2 a = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
Шаг 5: Найдем ( \cos a )
Теперь извлечем квадратный корень из ( \cos^2 a ):
[
\cos a = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}
]
Шаг 6: Определим знак ( \cos a )
Так как угол ( a ) находится в интервале ( \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) ), то он находится во втором квадранте, где косинус отрицательный. Поэтому:
[
\cos a = -\frac{3}{5}
]
Ответ
Таким образом, ( \cos a = -\frac{3}{5} ).
