x²12:5+2=0pешить по тиореми виета
Для решения задачи \( x^2 - \frac{12}{5}x + 2 = 0 \) с использованием теоремы Виета, давайте разберем её по шагам.
Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду
Данное уравнение уже представлено в стандартном виде: \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:
- \( a = 1 \)
- \( b = -\frac{12}{5} \)
- \( c = 2 \)
Шаг 2: Применим теорему Виета
Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 \) равна \( -\frac{b}{a} \), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).
В нашем случае:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-\frac{12}{5}}{1} = \frac{12}{5} \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{1} = 2 \)
Шаг 3: Найдем корни
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x_1 + x_2 = \frac{12}{5} \)
- \( x_1 \cdot x_2 = 2 \)
Подставим \( x_2 = \frac{12}{5} - x_1 \) во второе уравнение: \[ x_1 \left( \frac{12}{5} - x_1 \right) = 2 \]
Раскроем скобки: \[ \frac{12}{5}x_1 - x_1^2 = 2 \]
Преобразуем уравнение: \[ -x_1^2 + \frac{12}{5}x_1 - 2 = 0 \] Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака: \[ x_1^2 - \frac{12}{5}x_1 + 2 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни с помощью дискриминанта
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac \] где:
- \( a = 1 \)
- \( b = -\frac{12}{5} \)
- \( c = 2 \)
Подставляем значения: \[ D = \left(-\frac{12}{5}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{144}{25} - 8 = \frac{144}{25} - \frac{200}{25} = \frac{-56}{25} \]
Так как дискриминант \( D < 0 \), это означает, что корни уравнения комплексные.
Шаг 5: Найдем комплексные корни
Корни вычисляются по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] С учетом дискриминанта: \[ x = \frac{\frac{12}{5} \pm \sqrt{-\frac{56}{25}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{12}{5} \pm i\frac{\sqrt{56}}{5}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm i\sqrt{56}}{10} \] Так как \( \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \): \[ x = \frac{12 \pm i 2\sqrt{14}}{10} \] Упрощая, получаем: \[ x = \frac{6 \pm i\sqrt{14}}{5} \]
Ответ
Следовательно, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{6 + i\sqrt{14}}{5}, \quad x_2 = \frac{6 - i\sqrt{14}}{5} \]
Таким образом, находим корни квадратного уравнения и понимаем, что они комплексные. Если у вас остались вопросы по ходу решения, не стесняйтесь задавать!
