х2-25>0 решить неравенство

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 25 > 0 \), мы сначала перепишем его в удобной форме для анализа.

1. Перепишите неравенство: \[ x^2 - 25 > 0 \]

2. Определите корни уравнения: Неравенство можно переписать как: \[ (x - 5)(x + 5) > 0 \] Для этого мы заметили, что \( x^2 - 25 \) — это разность квадратов, и её можно разложить на множители.

3. Найдите нули функции: Уравнение \( (x - 5)(x + 5) = 0 \) имеет корни \( x = 5 \) и \( x = -5 \).

4. Определите интервалы: Теперь разделим числовую прямую на три интервала на основе найденных корней:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

5. Проверим знак на каждом из интервалов: Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала.

   • Интервал \( (-\infty, -5) \): выберем точку \( x = -6 \) \[ (-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0 \] Значит, выражение положительно на этом интервале.

   • Интервал \( (-5, 5) \): выберем точку \( x = 0 \) \[ (0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0 \] Значит, выражение отрицательно на этом интервале.

   • Интервал \( (5, +\infty) \): выберем точку \( x = 6 \) \[ (6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0 \] Значит, выражение положительно на этом интервале.

6. Записываем итог: Мы обнаружили, что неравенство выполняется на интервалах:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

Так как неравенство строгое (\( > 0 \)), мы не включаем корни \( -5 \) и \( 5 \) в решение.

7. Финальный ответ: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (5, +\infty) \]

Это решение неравенства \( x^2 - 25 > 0 \).