Игральный кубик бросили два раза. Событие AA — «при втором броске выпало меньше очков», событие BB — «сумма выпавших очков больше 55». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P(A∩B)P(A∩B).
Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее пошагово.
### Шаг 1: Определение событий
- **Событие A:** «при втором броске выпало меньше очков». Это значит, что если мы обозначим результат первого броска как \( X_1 \), а второго — как \( X_2 \), то событие A соответствует \( X_2 < X_1 \).
- **Событие B:** «сумма выпавших очков больше 5». То есть \( X_1 + X_2 > 5 \).
### Шаг 2: Таблица случайного эксперимента
Поскольку кубик бросают дважды, у нас есть 36 возможных исходов (6 вариантов для первого броска и 6 для второго). Давайте составим таблицу, где строки будут представлять первый бросок (\( X_1 \)), а столбцы — второй бросок (\( X_2 \)).
| \( X_1 \backslash X_2 \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---------------------------|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Теперь, для каждого исхода мы можем проверить, выполняются ли условия событий A и B.
### Шаг 3: Определение пересечения событий \( A \cap B \)
Теперь мы должны найти все пары \( (X_1, X_2) \), которые удовлетворяют обоим условиям.
1. **Для события A (\( X_2 < X_1 \))**: мы ищем такие пары, где второй бросок меньше первого.
2. **Для события B (\( X_1 + X_2 > 5 \))**: мы ищем такие пары, сумма которых больше 5.
#### Перебираем возможные выпавшие очки:
- **\( X_1 = 2 \):** \( X_2 \) может быть 1 (сумма 3, не подходит).
- **\( X_1 = 3 \):** \( X_2 \) может быть 1, 2 (пара (3,1) – сумма 4, не подходит; (3,2) – сумма 5, не подходит).
- **\( X_1 = 4 \):** \( X_2 \) может быть 1, 2, 3 (пары (4,1) – сумма 5, не подходит; (4,2) – сумма 6, подходит; (4,3) – сумма 7, подходит).
- **\( X_1 = 5 \):** \( X_2 \) может быть 1, 2, 3, 4 (все пары подходят).
- **\( X_1 = 6 \):** \( X_2 \) может быть 1, 2, 3, 4, 5 (все пары подходят).
Итак, итоговые пары, соответствующие \( A \cap B \) — это:
- (4,2)
- (4,3)
- (5,1)
- (5,2)
- (5,3)
- (5,4)
- (6,1)
- (6,2)
- (6,3)
- (6,4)
- (6,5)
### Шаг 4: Подсчет вероятности \( P(A \cap B) \)
Общее количество благоприятных исходов для события \( A \cap B = 11 \).
Общее количество всех возможных исходов при каждом броске кубика равно 36.
Таким образом, вероятность \( P(A \cap B) \) рассчитывается по формуле:
\[
P(A \cap B) = \frac{N(A \cap B)}{N(\text{всего исходов})} = \frac{11}{36}
\]
### Ответ
Вероятность того, что второй бросок меньше первого, и сумма бросков больше 5 составляет \( P(A \cap B) = \frac{11}{36} \).
