Ирина
Для решения уравнения \(8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63\) сначала упростим его выражения.
Упростим выражения:
- Заметим, что \(16^{\sin^2 x} = (2^4)^{\sin^2 x} = 2^{4\sin^2 x}\).
- Также \(4^{\cos 2x} = (2^2)^{\cos 2x} = 2^{2\cos 2x}\).
Применим преобразования:
Перепишем уравнение: \[ 8 \cdot 2^{4\sin^2 x} - 2 \cdot 2^{2\cos 2x} = 63 \]
Упростим коэффициенты: \[ 2^3 \cdot 2^{4\sin^2 x} - 2^1 \cdot 2^{2\cos 2x} = 63 \]
Объединим степени: \[ 2^{3 + 4\sin^2 x} - 2^{1 + 2\cos 2x} = 63 \]
Рассмотрим возможные решения через тригонометрические преобразования:
Учтём, что \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Подставим это в уравнение: \[ 2^{3 + 4\sin^2 x} - 2^{1 + 2(1 - 2\sin^2 x)} = 63 \] \[ 2^{3 + 4\sin^2 x} - 2^{3 - 4\sin^2 x} = 63 \]
Введём замену:
Обозначим \(y = 4\sin^2 x\), тогда уравнение становится: \[ 2^{3+y} - 2^{3-y} = 63 \]
Преобразуем и решим:
\[ 2^3 \cdot (2^y - 2^{-y}) = 63 \]
Разделим обе стороны на \(2^3 = 8\): \[ 2^y - 2^{-y} = \frac{63}{8} \]
Пусть \(2^y = a\), тогда \(a - \frac{1}{a} = \frac{63}{8}\).
Умножим на \(a\): \[ a^2 - 1 = \frac{63}{8}a \] \[ 8a^2 - 63a - 8 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Найдём дискриминант: \[ D = 63^2 + 4 \cdot 8 \cdot 8 = 3969 + 256 = 4225 \]
Корни: \[ a_{1,2} = \frac{63 \pm \sqrt{4225}}{16} \] \[ \sqrt{4225} = 65 \] \[ a_1 = \frac{63 + 65}{16} = 8 \quad \text{(так как \(a\) должно быть положительным)} \] \[ a_2 = \frac{63 - 65}{16} = -\frac{1}{8} \quad \text{(не подходит)} \]
Вернёмся к \(y\):
Если \(a = 8\), то \(2^y = 8\), значит \(y = 3\).
Восстановим \(\sin^2 x\):
\[ 4 \sin^2 x = 3 \implies \sin^2 x = \frac{3}{4} \]
Следовательно, \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Найдём решения для \(x\):
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Это и есть решение уравнения.
