найти координаты точки денежной окружности, полученные поворотом точки 1, 0 на угол 4 пи-3, 2 пи. - 6, 5 пи. пи 4 и 3 - 45°

Для решения этой задачи сначала определим, что нам нужно найти координаты точки после ее поворота на заданный угол. В данной задаче предположим, что начальная точка задана в декартовых координатах и представлена как \( (1, 0) \).

Шаг 1: Понимание углов

Мы смотрим на точки, которые нам нужно получить, поворачивая начальную точку \( (1, 0) \) на разные углы:

1. \( \frac{4\pi}{3} \)
2. \( 2\pi \)
3. \( -6 \)
4. \( \frac{5\pi}{4} \)
5. \( 3 \)
6. \( -45^\circ \) (градусы, которые мы преобразуем в радианы)

Для начала преобразуем угол в градусах в радианы: \[ -45^\circ = -\frac{\pi}{4} \text{ радиан} \]

Шаг 2: Определение формулы поворота

Для поворота точки \( (x, y) \) на угол \( \theta \) используется следующая формула: \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix} \] В нашем случае, начальная точка \( (1, 0) \):

• \( x = 1 \)
• \( y = 0 \)

Шаг 3: Поворот на каждый угол

1. Угол \( \frac{4\pi}{3} \):

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \\ 1 \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) \end{pmatrix} \] Косинус и синус угла \( \frac{4\pi}{3} \):

• \( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \)
• \( \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставляем: \[ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \]

2. Угол \( 2\pi \):

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \cos(2\pi) - 0 \cdot \sin(2\pi) \\ 1 \cdot \sin(2\pi) + 0 \cdot \cos(2\pi) \end{pmatrix} \] Косинус и синус угла \( 2\pi \):

• \( \cos(2\pi) = 1 \)
• \( \sin(2\pi) = 0 \)

Получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

3. Угол \( -6 \):

\( -6 \) радиан эквивалентен углу \( -6 + 2\pi = -6 + 6.28318 \approx 0.28318 \): \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \cos(0.28318) - 0 \cdot \sin(0.28318) \\ 1 \cdot \sin(0.28318) + 0 \cdot \cos(0.28318) \end{pmatrix} \] Приблизительные значения:

• \( \cos(0.28318) \approx 0.96017 \)
• \( \sin(0.28318) \approx 0.28173 \)

Таким образом: \[ \begin{pmatrix} 0.96017 \\ 0.28173 \end{pmatrix} \]

4. Угол \( \frac{5\pi}{4} \):

Косинус и синус угла \( \frac{5\pi}{4} \):

• \( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
• \( \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Подставляем: \[ \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

5. Угол \( 3 \):

Угол \( 3 \) радиан: \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \cos(3) - 0 \cdot \sin(3) \\ 1 \cdot \sin(3) + 0 \cdot \cos(3) \end{pmatrix} \] Приблизительные значения:

• \( \cos(3) \approx -0.98999 \)
• \( \sin(3) \approx 0.14112 \)

Таким образом: \[ \begin{pmatrix} -0.98999 \\ 0.14112 \end{pmatrix} \]

6. Угол \( -\frac{\pi}{4} \):

Косинус и синус угла \( -\frac{\pi}{4} \):

• \( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• \( \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Получаем: \[ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

Итоги

Мы получили координаты точки \( (1, 0) \) после поворота на разные углы:

1. \( \frac{4\pi}{3} \): \( (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
2. \( 2\pi \): \( (1, 0) \)
3. \( -6 \): \( (0.96017, 0.28173) \)
4. \( \frac{5\pi}{4} \): \( (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \)
5. \( 3 \): \( (-0.98999, 0.14112) \)
6. \( -\frac{\pi}{4} \): \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \)

Эти координаты представляют положение точки после указанных поворотов.