Для нахождения длины медианы ( AE ) в треугольнике ( ABC ) воспользуемся формулой для вычисления длины медианы.
Дано:
- ( AB = 8 , \text{см} )
- ( AC = 12 , \text{см} )
- Угол ( \angle BAC = 60^\circ )
Формула длины медианы
Длина медианы ( m_a ) к стороне ( a ) (в данном случае к стороне ( BC )) в треугольнике выражается формулой:
[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
]
где:
- ( a = BC ) (длина стороны, к которой проведена медиана),
- ( b = AC = 12 , \text{см} ),
- ( c = AB = 8 , \text{см} ).
Сначала найдем длину стороны ( BC ) с помощью теоремы косинусов:
Теорема косинусов гласит:
[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
]
где ( A ) – угол против стороны ( a ).
Подставим известные значения:
[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
]
[
BC^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)
]
Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), подставим значение:
[
BC^2 = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}
]
[
BC^2 = 64 + 144 - 96
]
[
BC^2 = 112
]
Теперь найдем ( BC ):
[
BC = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} , \text{см}
]
Теперь подставим найденные значения в формулу медианы ( AE ):
Сначала найдём ( a = BC = 4\sqrt{7} ):
[
AE = \frac{1}{2} \sqrt{2(12^2) + 2(8^2) - (4\sqrt{7})^2}
]
Подсчитаем:
[
AE = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot 64 - 16 \cdot 7}
]
[
AE = \frac{1}{2} \sqrt{288 + 128 - 112}
]
[
AE = \frac{1}{2} \sqrt{304}
]
[
AE = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{19} = 2\sqrt{19} , \text{см}
]
Ответ:
Длина медианы ( AE ) составляет ( 2\sqrt{19} , \text{см} ).
