Точка А (-5; 2) принадлежит окружности, а точка О(8:-7) - центр этой окружности. Составьте уравнения окружности
Чтобы составить уравнение окружности, нужно знать координаты её центра и радиус. В данной задаче у нас есть следующие данные:
- Центр окружности \( O(8, -7) \)
- Точка \( A(-5, 2) \), которая принадлежит окружности
Шаг 1. Находим радиус окружности
Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности \( O \) до любой точки на окружности, в данном случае до точки \( A \).
Для вычисления расстояния между двумя точками \( O(x_1, y_1) \) и \( A(x_2, y_2) \) используется формула:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставим наши координаты в формулу:
- \( O(8, -7) \)
- \( A(-5, 2) \)
Расчёт расстояния
Вычисляем разности координат:
\[ x_2 - x_1 = -5 - 8 = -13 \]
\[ y_2 - y_1 = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9 \]
Подставляем значения в формулу для расстояния:
\[ d = \sqrt{(-13)^2 + (9)^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} \]
Упростим \( \sqrt{250} \):
\[ \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10} \]
Таким образом, радиус \( r \) равен \( 5\sqrt{10} \).
Шаг 2. Составим уравнение окружности
Уравнение окружности в стандартной форме записывается следующим образом:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
где \( (x_0, y_0) \) — координаты центра круга, а \( r \) — радиус.
Подставляем координаты центра \( O(8, -7) \) и радиус \( r = 5\sqrt{10} \):
- \( (x_0, y_0) = (8, -7) \)
- \( r^2 = (5\sqrt{10})^2 = 25 \cdot 10 = 250 \)
Теперь подставим все в уравнение:
\[ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250 \]
Ответ
Уравнение окружности с центром в точке \( O(8, -7) \) и радиусом \( 5\sqrt{10} \) имеет вид:
\[ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250 \]
Таким образом, мы получили уравнение окружности, которое задаёт отношение всех точек, находящихся на расстоянии \( 5\sqrt{10} \) от центра.
