Антон, Боря и Витя покупали блокноты и тридцатирублёвые карандаши. Антон купил 2 блокнота и 4 карандаша, Боря — блокнот и 6 карандашей, Витя — блокнот и 3 карандаша. Оказалось,…
Антон, Боря и Витя покупали блокноты и тридцатирублёвые карандаши. Антон купил 2 блокнота и 4 карандаша, Боря — блокнот и 6 карандашей, Витя — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Антон, Боря и Витя, образуют геометрическую прогрессию. Сколько рублей стоит блокнот?
Для решения задачи начнем с обозначений:
- Пусть цена одного блокнота равна \( x \) рублей.
- Пусть цена одного карандаша равна \( y \) рублей.
Теперь запишем суммы, которые заплатил каждый из трех учеников:
Антон купил 2 блокнота и 4 карандаша: \[ S_A = 2x + 4y \]
Боря купил 1 блокнот и 6 карандашей: \[ S_B = x + 6y \]
Витя купил 1 блокнот и 3 карандаша: \[ S_V = x + 3y \]
Суммы \( S_A \), \( S_B \), \( S_V \) образуют геометрическую прогрессию, что означает, что произведение крайних членов (то есть суммы Антона и Вити) равно квадрату среднего члена (сумма Бориса). Это можно записать следующим образом: \[ S_A \cdot S_V = S_B^2 \]
Подставим значения: \[ (2x + 4y)(x + 3y) = (x + 6y)^2 \]
Теперь раскроем скобки с обеих сторон:
С левой стороны: \[ (2x + 4y)(x + 3y) = 2x^2 + 6xy + 4xy + 12y^2 = 2x^2 + 10xy + 12y^2 \]
С правой стороны: \[ (x + 6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2 \]
Теперь приравняем обе стороны: \[ 2x^2 + 10xy + 12y^2 = x^2 + 12xy + 36y^2 \]
Переносим все термины влево: \[ 2x^2 + 10xy + 12y^2 - x^2 - 12xy - 36y^2 = 0 \]
Упрощаем: \[ x^2 - 2xy - 24y^2 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( x \). Чтобы решить его, воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -2y \), \( c = -24y^2 \): \[ D = (-2y)^2 - 4(1)(-24y^2) = 4y^2 + 96y^2 = 100y^2 \]
Теперь находим \( x \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2y \pm 10y}{2} = \frac{12y}{2} \text{ или } \frac{-8y}{2} \] \[ x = 6y \text{ или } x = -4y \]
Так как цена не может быть отрицательной, оставляем: \[ x = 6y \]
Теперь подставим \( x \) обратно в выражение для одного из членов. Например, подставим \( x = 6y \) в сумму Бориса: \[ S_B = 6y + 6y = 12y \]
Теперь найдем суммы для Антона и Вити: \[ S_A = 2(6y) + 4y = 12y + 4y = 16y \] \[ S_V = 6y + 3y = 9y \]
Проверяем соотношение геометрической прогрессии: \[ S_A \cdot S_V = 16y \cdot 9y = 144y^2 \] \[ S_B^2 = (12y)^2 = 144y^2 \]
Соотношение верно. Теперь можем подставить \( y \) в любое уравнение для нахождения цены блокнота. Если возьмём \( y = 1 \) (цена карандаша в 1 рубль), то: \[ x = 6y = 6 \times 1 = 6 \]
Таким образом, цена одного блокнота 6 рублей.
