Из вершины B B квадрата A B C D ABCD восстановлен перпендикуляр S B SB к плоскости квадрата. Найди тангенс угла между плоскостями ( S D C ) (SDC) и ( A B C ) (ABC) , если S B = 2…

Для решения этой задачи нам нужно определить тангенс угла между плоскостями \( (SBC) \) и \( (ABC) \). Начнем с описания ситуации и шагов для решения.

Шаг 1: Построение фигуры

1. Квадрат ABCD:

   • Вершины квадрата ABCD расположены в плоскости. Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(0, 6, 0) \), \( C(6, 6, 0) \), \( D(6, 0, 0) \).
   • Длина стороны квадрата \( AB = 6 \) (так как \( BD = 6 \)).

2. Точка S:

   • Точка \( S \) находится над вершиной \( B \) и перпендикулярна плоскости квадрата, следовательно, у неё координаты \( S(0, 6, 2) \) (так как \( SB = 2 \)).

Шаг 2: Векторы, определяющие плоскости

1. Векторы для плоскости ABC:

   • Векторы \( \overrightarrow{AB} = (0, 6, 0) \) и \( \overrightarrow{AC} = (6, 6, 0) \).
   • Векторное произведение для нахождения нормали: \[ \mathbf{n}_{ABC} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 6, 0) \times (6, 6, 0) = (0, 0, 36) \]
   • Нормальный вектор: \( \mathbf{n}_{ABC} = (0, 0, 36) \).

2. Векторы для плоскости SBC:

   • Векторы \( \overrightarrow{SB} = (0, 6, 2) - (0, 6, 0) = (0, 0, 2) \) и \( \overrightarrow{SC} = (6, 6, 2) - (0, 6, 2) = (6, 0, 2) \).
   • Векторное произведение для нахождения нормали: \[ \mathbf{n}_{SBC} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = (0, 0, 2) \times (6, 0, 2) = (0, -12, 0) \]
   • Нормальный вектор: \( \mathbf{n}_{SBC} = (0, -12, 0) \).

Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями

1. Формула для тангенса угла между нормалями: \[ \tan(\theta) = \frac{\|\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}\|}{\mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}} \] где \( \mathbf{n}_{1} = (0, 0, 36) \) и \( \mathbf{n}_{2} = (0, -12, 0) \).

2. Векторное произведение нормалей: \[ \mathbf{n}_{ABC} \times \mathbf{n}_{SBC} = (0, 0, 36) \times (0, -12, 0) = (432, 0, 0) \] \(\| \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} \| = 432 \).

3. Скалярное произведение нормалей: \[ \mathbf{n}_{ABC} \cdot \mathbf{n}_{SBC} = (0, 0, 36) \cdot (0, -12, 0) = 0 \]

Шаг 4: Вывод

Так как скалярное произведение равняется 0, это указывает на то, что углы между плоскостями перпендикулярны, и, следовательно, тангенс угла равен бесконечности.

Проанализировав предложенные ответы, мы можем выбрать правильный вариант в соответствии с условиями задачи:

Правильный ответ: 2 и 3, (2, 3).

Выберите из перечисленных вариантов предполагаемое значение тангенса угла в зависимости от формулировок, так как находятся между 2 и 3.