Из вершины
B
B квадрата
A
B
C
D
ABCD восстановлен перпендикуляр
S
B
SB к плоскости квадрата. Найди тангенс угла между плоскостями
(
S
D
C
)
(SDC) и
(
A
B
C
)
(ABC), если
S
B
=
2
B
D
=
6
SB=2BD=6.
Выбери верный вариант.
3
2
2
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
3
3
3
Для решения этой задачи нам нужно определить тангенс угла между плоскостями \( (SBC) \) и \( (ABC) \). Начнем с описания ситуации и шагов для решения.
### Шаг 1: Построение фигуры
1. **Квадрат ABCD**:
- Вершины квадрата ABCD расположены в плоскости. Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(0, 6, 0) \), \( C(6, 6, 0) \), \( D(6, 0, 0) \).
- Длина стороны квадрата \( AB = 6 \) (так как \( BD = 6 \)).
2. **Точка S**:
- Точка \( S \) находится над вершиной \( B \) и перпендикулярна плоскости квадрата, следовательно, у неё координаты \( S(0, 6, 2) \) (так как \( SB = 2 \)).
### Шаг 2: Векторы, определяющие плоскости
1. **Векторы для плоскости ABC**:
- Векторы \( \overrightarrow{AB} = (0, 6, 0) \) и \( \overrightarrow{AC} = (6, 6, 0) \).
- Векторное произведение для нахождения нормали:
\[
\mathbf{n}_{ABC} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 6, 0) \times (6, 6, 0) = (0, 0, 36)
\]
- Нормальный вектор: \( \mathbf{n}_{ABC} = (0, 0, 36) \).
2. **Векторы для плоскости SBC**:
- Векторы \( \overrightarrow{SB} = (0, 6, 2) - (0, 6, 0) = (0, 0, 2) \) и \( \overrightarrow{SC} = (6, 6, 2) - (0, 6, 2) = (6, 0, 2) \).
- Векторное произведение для нахождения нормали:
\[
\mathbf{n}_{SBC} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = (0, 0, 2) \times (6, 0, 2) = (0, -12, 0)
\]
- Нормальный вектор: \( \mathbf{n}_{SBC} = (0, -12, 0) \).
### Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями
1. **Формула для тангенса угла между нормалями**:
\[
\tan(\theta) = \frac{\|\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}\|}{\mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}}
\]
где \( \mathbf{n}_{1} = (0, 0, 36) \) и \( \mathbf{n}_{2} = (0, -12, 0) \).
2. **Векторное произведение нормалей**:
\[
\mathbf{n}_{ABC} \times \mathbf{n}_{SBC} = (0, 0, 36) \times (0, -12, 0) = (432, 0, 0)
\]
\(\| \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} \| = 432 \).
3. **Скалярное произведение нормалей**:
\[
\mathbf{n}_{ABC} \cdot \mathbf{n}_{SBC} = (0, 0, 36) \cdot (0, -12, 0) = 0
\]
### Шаг 4: Вывод
Так как скалярное произведение равняется 0, это указывает на то, что углы между плоскостями перпендикулярны, и, следовательно, тангенс угла равен бесконечности.
Проанализировав предложенные ответы, мы можем выбрать правильный вариант в соответствии с условиями задачи:
**Правильный ответ: 2 и 3, (2, 3)**.
Выберите из перечисленных вариантов предполагаемое значение тангенса угла в зависимости от формулировок, так как находятся между 2 и 3.
