постройте график функции y=x^2-6x+4. найдите по графику а) нули функции б) наименьшее значение функции в) промежутки убывания и возрастания

Для задачи, которую вы предоставили, давайте шаг за шагом разберем, как построить график функции \( y = x^2 - 6x + 4 \), а также найдем нули функции, наименьшее значение и промежутки возрастания и убывания.

Шаг 1: Построение графика функции

1. Определение типа функции: Это квадратичная функция вида \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 4 \). Поскольку \( a > 0 \), график будет иметь форму параболы, открытой вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы: Вершина параболы находится по формуле: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x_{vertex} = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Теперь подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти \( y_{vertex} \): \[ y_{vertex} = 3^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 \] Таким образом, координаты вершины параболы: \( (3, -5) \).

3. Нахождение нулей функции: Для нахождения нулей функции решим уравнение: \[ x^2 - 6x + 4 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \] Нули находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Таким образом, нули функции: \( x_1 = 3 - \sqrt{5} \) и \( x_2 = 3 + \sqrt{5} \).

4. Рисование графика: Ключевые точки:

   • Вершина: \( (3, -5) \)
   • Нули: \( (3 - \sqrt{5}, 0) \) и \( (3 + \sqrt{5}, 0) \)

   Наносим на координатную плоскость:

   • Вершина будет самой низкой точкой (наименьшее значение функции).
   • Нули функции отмечены на оси \( x \).

Шаг 2: Наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции – это значение \( y \) в вершине, то есть: \[ y_{min} = -5 \]

Шаг 3: Промежутки возрастания и убывания

• Функция убывает на промежутке от \( (-\infty, 3) \) (левее вершины) и возрастает на промежутке от \( (3, +\infty) \) (правее вершины).

Итог:

• Нули функции: \( x_1 = 3 - \sqrt{5} \) и \( x_2 = 3 + \sqrt{5} \)
• Наименьшее значение функции: \( -5 \)
• Промежутки убывания: \( (-\infty, 3) \), Промежутки возрастания: \( (3, +\infty) \)

Теперь вы имеете полное представление о функции и ее графике. Если нужно, вы можете задать дополнительные вопросы!