Баскетболист бросает мяч в кольцо до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном броске равна 0,4 . Найди вероятность того, что ему потребуется более четырёх…
Баскетболист бросает мяч в кольцо до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном броске равна 0,4. Найди вероятность того, что ему потребуется более четырёх попыток.
Чтобы решить задачу, давайте определим основные параметры.
Данный случай можно описать с помощью распределения Геометрического распределения, так как мы рассматриваем количество попыток до первого успеха. Важно помнить, что вероятность того, что нам потребуется более четырех попыток, может быть найдена через комплементарное событие (то есть событие, что попадание случится на первой, второй, третьей или четвертой попытке).
Давайте пошагово разберем решение:
Определение вероятности события:
- Вероятность попадания в кольцо при каждом броске равна \( p = 0.4 \).
- Следовательно, вероятность промаха (непопадания) равна \( q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6 \).
Нахождение вероятности попадания в первые четыре попытки:
- Нам необходимо найти вероятность того, что он попадет в кольцо в одной из первых четырех попыток. Это можно выразить как:
- Вероятность попадания на 1-й попытке: \( P(X=1) = p = 0.4 \).
- Вероятность попадания на 2-й попытке: \( P(X=2) = q \cdot p = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 \).
- Вероятность попадания на 3-й попытке: \( P(X=3) = q^2 \cdot p = 0.6^2 \cdot 0.4 = 0.36 \cdot 0.4 = 0.144 \).
- Вероятность попадания на 4-й попытке: \( P(X=4) = q^3 \cdot p = 0.6^3 \cdot 0.4 = 0.216 \cdot 0.4 = 0.0864 \).
- Нам необходимо найти вероятность того, что он попадет в кольцо в одной из первых четырех попыток. Это можно выразить как:
Суммирование вероятностей:
- Теперь можем найти полную вероятность попадания в одной из первых четырех попыток, суммируя полученные вероятности: \[ P(\text{попадание на 1, 2, 3 или 4 попытке}) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.4 + 0.24 + 0.144 + 0.0864 = 0.8704. \]
Нахождение вероятности более четырех попыток:
- Теперь, чтобы найти вероятность того, что для попадания потребуется более четырех попыток, надо вычесть полученную вероятность из 1: \[ P(X > 4) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - 0.8704 = 0.1296. \]
Итак, вероятность того, что баскетболисту потребуется более четырех попыток, равна 0.1296 или 12.96%.
