В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС=2v6. Найдите АС.
Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где известны углы и одна сторона, мы можем использовать теорему синусов.
Дано:
- Угол \( A = 60^\circ \)
- Угол \( B = 45^\circ \)
- Сторона \( BC = 2\sqrt{6} \)
Шаг 1: Найдем угол C
Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Мы можем найти угол \( C \):
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]
Шаг 2: Применим теорему синусов
Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла во всех треугольниках одинаково:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Где:
- \( a = BC = 2\sqrt{6} \) (сторона напротив угла A),
- \( b = AC \) (сторона напротив угла B),
- \( c = AB \) (сторона напротив угла C).
Шаг 3: Запишем соотношение для \( AC \)
Мы знаем, что:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{2\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \]
Шаг 4: Найдем синусы углов
Значения синусов:
- \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Шаг 5: Подставим значения синусов
Теперь подставим эти значения в наше уравнение:
\[ \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Теперь упростим левую часть:
\[ \frac{2\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
Шаг 6: Упростим правую часть
Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[ \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = AC \]
Шаг 7: Найдем значение \( AC \)
Теперь упростим:
\[ AC = \frac{4\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \]
Зная, что \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \):
\[ AC = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 2 = 8 \]
Итог:
Длина стороны \( AC \) равна \( 8 \).
Таким образом, мы нашли, что \( AC = 8 \) с использованием теоремы синусов и упростив полученные выражения.
